最新人教版高中数学必修2第三章《直线的倾斜角与斜率》教材梳理

2023-11-20 11:12:27 第一文档网 [ 字体：小中大 ] [

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知识·巧学

一、直线的倾斜角

1.倾斜角：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.

2.倾斜角的范围：当直线l与x轴相交时，α可以是锐角、直角、钝角.当l与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0°，因此0°≤α＜180°.

3.倾斜角的意义：平面直角坐标系内的每一条直线都有一个确定的倾斜角，倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等，倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等.倾斜角直接反映了直线对x轴正向的倾斜程度.因此要确定一条直线，只要已知直线上的一个定点和它的倾斜角就可以了.

要点提示 1.要理解倾斜角定义中含有三个条件：①直线向上的方向；②x轴的正方向；③小于平角的正角，因此倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.

2.倾斜角是一个几何概念，它直观地描述了直线对x轴正方向的倾斜程度. 3.由倾斜角的定义可知平面内任何一条直线都有唯一的倾斜角. 二、直线的斜率

1.斜率：当直线l的倾斜角α不为90°时，α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示.

2.斜率公式：k=tanα(α≠90°).

3.斜率与倾斜角的关系：一条直线必有一个确定的倾斜角，但不一定有斜率(倾斜角为90°时无斜率).若直线斜率k＞0，则倾斜角为锐角；若k＜0，倾斜角为钝角；若k不存在，倾斜角为90°；若k=0，倾斜角为0°.当直线斜率k＞0时，直线斜率越大，倾斜角越大；当直线斜率k＜0时，直线斜率越大，倾斜角越大.

4.斜率的意义：斜率间接反映了直线对x轴正向的倾斜程度.因此，要确定一条直线，只要知道直线上的一个定点和它的斜率就可以了.

误区警示在求解有关直线斜率的问题时，考虑直线的倾斜角是否为90°，即斜率是否存在是非常必要的，否则容易造成丢解. 三、已知直线上两点求斜率的公式

已知直线上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则其斜率为k=

y2y1

.斜率公式既可以由已

x2x1

知两点求斜率，也可以由斜率及一点的坐标求另一点的坐标满足的关系式，即公式的正用与逆用.

直线的斜率公式k=

y2y1

有意义的条件为x1≠x2，应用此公式时常常用到方程思想.

x2x1

误区警示从公式可以看出当x1＝x2，即P1P2与x轴垂直时，k不存在（α＝90°）.当y1＝y2，即P1P2与y轴垂直时，k＝0（α＝0°）,并且k的值与P1、P2两点坐标的顺序无关. 问题·探究

问题1 一次函数y=kx+b的图象是什么？k＜0时，其函数的单调性怎样？对应的图象有什么特征？

探究:图象为直线；k＜0时，函数在(-∞，+∞)上递减；其对应的图象的斜率小于0.出现“左高右低”的形式.

问题2 任一直线都有倾斜角吗？都有斜率吗？是否直线的倾斜角越大，其斜率也越大？

探究:都有倾斜角；不一定都有斜率，如θ=90°时，斜率不存在；应分θ∈［0°,90°)和(90°,180°)两个区间分别说明，直线的斜率关于该直线的倾斜角的单增性在各自区间是成立的，而θ∈［0°,180°)时，则不正确.

问题3 请同学们在地面上固定一个点P，并放置一根直棒AB，使点P与AB不共线，当建立一个直角坐标系，使P(0，-2)、A(-2，1)、B(3，2)时，由点P引一根很长的线PQ，当线PQ绕点P旋转，总与棒AB相交时，你能求出该线PQ的斜率的取值范围吗？

探究:该问题可以画图分析，即可转化为直线PQ由PB逆时针旋转到PA过程中直线PQ的斜率的变化范围.而kPB=

224123

，kPA=,在此旋转过程中，PQ的斜率由kPB

303202

变化到无穷大，又由无穷大变化到kPA. 所以PQ的斜率的取值范围为(-∞,

34

］∪［,+∞).

32

典题·热题

例1 已知直线l经过点A(-2，0)、B(-3，1)，求l的倾斜角.

思路解析：先由斜率公式求出斜率，再由斜率与倾斜角的关系求出倾斜角.当斜率k<0时，倾斜角α为钝角，利用tanα=tan(180°-β)，其中tanβ=-k，β为锐角. 解：设直线l的斜率为k，倾斜角为α，则k=

10

1，∴tanα=-1.

3(2)

∵tan45°=1，∴tan(180°-45°)=-tan45°=-1. ∴α=180°-45°=135°，即l的倾斜角为135°.

深化升华用公式法求直线的斜率问题,注意分子分母只要前后顺序一致即可，顺序可以颠倒.由斜率判断角的范围时，若直线斜率k＞0，则倾斜角为锐角；若k＜0，倾斜角为钝角；若k不存在，倾斜角为90°；若k=0，倾斜角为0°.

例2 若直线l1的斜率为k1，倾斜角为α1，直线l2的斜率为k2，倾斜角为α2，且k1+k2=0，k1k2≠0.

求证：α1+α2=180°.

思路解析：该题进一步给出了斜率与倾斜角的关系，证α1+α2=180°，只需证α2=180°-α1，也即证tanα2=tan(180°-α1)成立，再考虑α2与180°-α1在同一单调区间内即可. 证明：如图3-1-1所示，∵k1+k2=0，且k1·k2≠0，

图3-1-1

∴k1≠0，k2≠0，故k1=-k2，即tanα1=-tanα2=tan(180°-α2). ∵0°<α1<180°，0°<α2<180°， ∴-180°<-α2<0°，0°<180°-α2<180°. ∴α1与180°-α2都在(0°，180°)中，且α1、α2都不等于90°. ∴α1=180°-α2，即α1+α2=180°.

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