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中考数学三角形中心、外心、内心、重心、旁心知识 三角形五心定理 目录 三角形五心定理 一、三角形重心定理 二、三角形外心定理 三、三角形垂心定理 四、三角形内心定理 五、三角形旁心定理 有关三角形五心的诗歌 三角形五心定理 三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。三角形五心定理 是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称。 一、三角形重心定理 三角形的三条边的中线交于一点。该点叫做三角形的重心。三中线交于一点可用 燕尾定理证明，十分简单。〔重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角 形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名〕 重心的性质： 1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2 ︰ 1 。 2、重心和三角形3 个顶点组成的3 个三角形面积相等。即重心到三条边的距离 与三条边的长成反比。 3、重心到三角形3 个顶点距离的平方和最小。 4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其重心坐标为 （ (X1+X2+X3)/3 ，〔 Y1+Y2+Y3)/3 。 二、三角形外心定理 三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。 外心的性质： 1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。 2、假设 O 是△ ABC 的外心，那么∠ 〔∠ A 为锐角或直角〕或∠ BOC=360°-2 ∠ A〔∠ A 为钝角〕。 3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时， 外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。1 / 3 BOC=2∠ A中考数学三角形中心、外心、内心、重心、旁心知识 4、计算外心的坐标应先计算以下临时变量：d1， d2 ， d3 分别是三角形三个顶点 连向另外两个顶点向量的点乘。c1=d2d3 ， c2=d1d3 ， c3=d1d2 ； c=c1+c2+c3 。重心坐 标： ( (c2+c3)/2c， (c1+c3)/2c ， (c1+c2)/2c )。 5、外心到三顶点的距离相等 三、三角形垂心定理 三角形的三条高〔所在直线〕交于一点，该点叫做三角形的垂心。 垂心的性质： 1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这 7 个点可以得到 6 个四点圆。 2、三角形外心 O、重心 G 和垂心 H三点共线，OG︰ GH=1︰ 2 。〔此直线称为三且 角形的欧拉线〔 Euler line 〕〕 3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的 2 倍。4、垂心分每条高线的两局部乘积相等。 定理证明 ：ABC 中， AD、 BE 是两条高， AD、 BE 交于点 O，连接 CO并延长交AB 于点 F ，求证：CF⊥ AB 证明： 连接 DE ∵∠ ADB=∠ AEB=90 度∴ A、 B、 D、 E 四点共圆∴∠ ADE=∠ ABE ∵∠ EAO=∠ DAC ∠ AEO=∠ ADC ∴Δ AEO∽Δ ADC ∴ AE/AO=AD/AC ∴Δ EAD∽Δ OAC∴∠ ACF=∠ ADE=∠ ABE 又∵∠ ABE+∠ BAC=90 度∴∠ ACF+∠ BAC=90 度∴ CF⊥ AB 因此，垂心定理成立！ 四、三角形内心定理 三角形内切圆的圆心，叫做三角形的内心。 内心的性质： 1、三角形的三条内角平分线交于一点。该点即为三角形的内心。 2、直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一。 3、P 为ABC 所在平面上任意一点，点I 是ABC 内心的充要条件是：向量PI= (a ×向量 PA+b×向量 PB+c×向量 PC)/(a+b+c). 4、O 为三角形的内心，A、 B、C 分别为三角形的三个顶点，延长AO交 BC 边于 N， 那么有 AO:ON=AB:BN=AC:CN=(AB+AC):BC2 / 3 本文来源：https://www.dywdw.cn/2ec2f8d7a8ea998fcc22bcd126fff705cd175c42.html
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2023-12-17
