高中数学竞赛初赛试题

2022-06-26 21:23:16 第一文档网 [ 字体：小中大 ] [

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2018年高中数学竞赛初赛

一、填空题（每题7分，共10题，共70分）

1. 函数y=│cos x│-cos 2x（x∈R）的值域

2. 已知（a+bi）2=3+4i，其中a,b∈R，i是虚数单位，则a2+b2=

3. 圆心在抛物线x2=2y上，并且和该抛物线的准线及y轴都相切的圆的方程

1-4x

4. 设函数f（x）=x-x，则不等式f（1-x2）+f（5x-7）<0的解集为

2

5. 已知等差数列{an}的前12项的和为60，则a1a2a3+...+a12的最小值 6. 已知正四面体内切球的半径是1，则该四面体的体积为 7. 在△ABC中，AB=5,AC=4，且

=12，设P为平面ABC上一点，则

的最

小值为

8. 设g（n）=

(k,n)，其中n∈N，（k,n）表示k与n的最大公约数，则g（100）的值

*

k1

n

为

9. 将1,2,3,4,5,6,7,8,9,这九个数随机填入3×3的方格表中，每个小方格填一个数，且所填各部相同，则使每行，每列所填数之和都是奇数的概率是

（第9题图）

10. 在1,2,3,4，...1000中，能写出a2-b2+1（a,b∈N）的形式，且不能被3整除的数有个

二、解答题（每题20分，共4题，共80分）

11. 如图，在平面直角坐标系xoy中，已知圆O 的方程为x2+y2=4,过P（0,1）点的直线l与圆O交于A,B，与x轴交于Q，设

，

，求证：与为定值.

y

A P Q

O x B

（第11题图） 12. 已知{an} 是公差为d的等差数列，且a1+t2=a2+t3=a3+t. (1). 求实数t,d的值；只供学习与交流

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(2). 若正整数满足m＜p＜r，am-2m=ap-2tp=ar -2tr=0，求数组（m，p，r）和相应的通项公式an 。

13.

14. 如图，在圆内接四边形ABCD中，对角线AC与BD交于P，△ABD与△ABC的内心分别为I1和I2，直线I1I2分别与AC,BD交于M,N，求证：PM=PN.

C D

P

I1 I2 N M

A B

（第13题图）

15. 从1,2,3,4.......，2050这2050个数中任取2018个组成集合A，把A中的每个染上红色或蓝色.求证：总存在一种染色方法使得每600个红数及600个蓝数满足下列两个条件：只供学习与交流

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① 这600个红数的和等于这600个蓝数的和；

② 这600个红数的平方和等于这600个蓝数的平方和.

只供学习与交流

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