全国高中数学联合竞赛

2022-03-22 08:02:15 第一文档网 [ 字体：小中大 ] [

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全国高中数学联赛竞赛

一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分。

1.设集合A{1,2,3,…99}，B{2x|xA},C{x|2xA}，则B则这样的点Q所构成的区域的面积为______.

3.将1,2,3,4,5,6随机排成一行，记为a,b,c,d,e,f，则abcdef是偶数的概率为______.

C的元素个数为______.

2.设点P到平面的距离为3，点Q在平面上，使得直线PQ与所成角不小于30且不大于60，

x2y2

4.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C:221(ab0)的左、右焦点分别是F1、F2，椭圆C的弦ST

ab

与UV分别平行于x轴与y轴，且相交于点P。已知线段PU,PS,PV,PT的长分别为1,2,3,6，则PF1F2

的面积为______.

5.设f(x)是定义在R上的以2为周期的偶函数，在区间[0,1]上严格递减，且满足f()1,f(2)2，则不等式组

1x2

的解集为______.

1f(x)2

2

6.设复数z满足|z|1，使得关于x的方程zx2zx20有实根，则这样的复数z的和为______. 7.设O为ABC的外心，若AOAB2AC，则sinBAC的值为______.

8.设整数数列a1,a2,…,a10满足a103a1,a2a82a5，且

ai1{1ai,2ai},i1,2,…,9，

则这样的数列的个数为______。

二、解答题：本大题共3小题，满分56分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 9.（本题满分16分）已知定义在R上的函数f(x)为



|log3x1|,0x9,f(x)

x94x,

设a,b,c是三个互不相同的实数，满足f(a)f(b)f(c)，求abc的取值范围。

10.（本题满分20分）已知实数列a1,a2,a3,…满足：对任意正整数n，有an(2Snan)1，其中Sn表示数列的前n项和。证明：

1）对任意正整数n，有an2n； 2）对任意正整数n，有anan11。

11.在平面直角坐标系xOy中，设AB是抛物线y4x的过点F(1,0)的弦，AOB的外接圆交抛物线于点P（不同于点O,A,B）。若PF平分APB，求|PF|的所有可能值。

2

加试（A卷）

一、（本题满分40分）设n是正整数，a1,a2,,an,b1,b2,…,bn，A,B均为正实数，满足

b1b2…bnB

。

a1a2…anA

二、（本题满分40分）如图，ABC为锐角三角形，ABAC，M为BC边的中点，点D和E分别为

ABC的外接圆BAC和BC的中点，F为ABC的内切圆在AB边上的切点，G为AE与BC的交点，N在线段EF上，满足NBAB。证明：若BNEM，则DFFG。（答题时请将图画在答卷纸上）

aibi,aiA,i1,2,…,n，且

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三、（本题满分50分）设n,k,m是正整数，满足k2，且nm

子集。证明：区间(0,

2k1

n。设A是{1,2,…,m}的n元k

n

)中的每个整数均可表示为aa，其中a,aA。 k1

四、（本题满分50分）数列{an}定义如下：a1是任意正整数，对整数n1，an1是与

等于a1,…an的最小正整数。证明：每个正整数均在数列{an}中出现。五、

a互素，且不

ii1

n

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