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本文格式为Word版,下载可任意编辑 分式方程的增根与无解的区别及联系 经检验:当x=2时,原方程无意义,所以x=2是原方程的增根. 所以原方程无解. 分式方程的增根与无解是分式方程中常见的两个概念,同学们在学习分式方程后,常常 【说明】显然,方程①中未知数x的取值范围是x≠2且x≠-2.而在去分母化为方程②会对这两个概念混淆不清,认为分式方程无解和分式方程有增根是同一回事,事实上并非如后,此时未知数x的取值范围扩大为全体实数.所以当求得的x值恰好使最简公分母为零时,此. x的值就是增根.本题中方程②的解是x=2,恰好使公分母为零,所以x=2是原方程的增根, 分式方程有增根,指的是解分式方程时,在把分式方程转化为整式方程的变形过程中,原方程无解. 方程的两边都乘了一个可能使分母为零的整式,从而扩大了未知数的取值范围而产生的未知 数的值;而分式方程无解则是指不论未知数取何值,都不能使方程两边的值相等.它包含两 解:去分母后化为x-1=3-x+2(2+x). 种情形: 整理得0x=8. (一)原方程化去分母后的整式方程无解; 因为此方程无解,所以原分式方程无解. (二)原方程化去分母后的整式方程有解,但这个解却使原方程的分母为0,它是原方程 【说明】此方程化为整式方程后,本身就无解,当然原分式方程肯定就无解了.由此可的增根,从而原方程无解.现举例说明如下: 见,分式方程无解不一定就是产生增根. 解:方程两边都乘以(x+2)(x-2),得2(x+2)-4x=3(x-2).② 方程两边都乘以x-2,得x-3=-m. 解这个方程,得x=2. 第 1 页 共 2 页 本文格式为Word版,下载可任意编辑 解这个方程,得x=3-m. 值即为增根,最后将增根代入转化得到的整式方程中,求出原方程中所含字母的值. 因为原方程无解,所以这个解应是原方程的增根.即x=2, 所以2=3-m,解得m=1. 此时还要考虑转化后的整式方程(a-1)x=-10本身无解的情况,解法如下: 故当m=1时,原方程无解. 解:方程两边都乘以(x+2)(x-2),得2(x+2)+ax=3(x-2) 【说明】因为同学们目前所学的是能化为一元一次方程的分式方程,而一元一次方程只 整理得(a-1)x=-10 ② 有一个根,所以如果这个根是原方程的增根,那么原方程无解.但是同学们并不能因此认为 若原方程无解,则有两种情形: 有增根的分式方程一定无解,随着以后所学知识的加深,同学们便会明白其中的道理,此处 (1)当a-1=0(即a=1)时,方程②为0x=-10,此方程无解,所以原方程无解。 不再举例. (2)如果方程②的解恰好是原分式方程的增根,那么原分式方程无解.原方程若有增根, 增根为x=2或-2,把x=2或-2代入方程②中,求出a=-4或6. 解:方程两边都乘以(x+2)(x-2),得2(x+2)+ax=3(x-2) 综上所述,a=1或a=一4或a=6时,原分式方程无解. 整理得(a-1)x=-10 ② 结论:弄清分式方程的增根与无解的区别和联系,能帮助我们提高解分式方程的正确性, 若原分式方程有增根,则x=2或-2是方程②的根. 对判断方程解的情况有一定的指导意义. 把x=2或-2代入方程②中,解得,a=-4或6. 【说明】做此类题首先将分式方程转化为整式方程,然后找出使公分母为零的未知数的 第 2 页 共 2 页 本文来源:https://www.dywdw.cn/302ac530a9ea998fcc22bcd126fff705cd175c59.html