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线段垂直平分线定理知识总结 一、线段垂直平分线的性质定理 文字语言 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 说明： 1、这里的距离指的是点与点之间的距离，也就是两点之间线段的长度。 2、在使用该定理时必须保证两个前提条件：一是垂直于线段，二是平分这条线段。 例题、如图所示，在△ABC中，已知AC=27，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，△BCE的周长等于50，求BC的长。 分析：题中给出了线段垂直平分线这个条件，所以可以考虑运用其性质定理，从而得出AE=BE，把BE与AE进行等量代换，再根据△BCE的周长及AC的长，可求出BC的长。 解： 因为ED是线段AB的垂直平分线， 所以BE=AE。 DA符号语言 因为点P在线段AB的垂直平分线上，所以PA=PB A图形语言 POB 因为△BCE的周长等于50， 即BE＋EC＋BC=50， 所以AE＋EC＋BC=50。 又因为AE＋EC=AC=27， 所以BC=50－27=23。 二、线段垂直平分线定理的逆定理 文字语言 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 符号语言 因为PA=PB， 所以点P在线段AB的垂直平分线上。 AEBC图形语言 POB 证明某一条直线是另一条线段的垂直平分线有两种方法： 第一种：根据线段垂直平分线的定义，也就是经过线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。使用这种方法必须满足两个条件：一是垂直二是平分； 第二种：可以证明有两个点都在线段的垂直平分线上，根据两点确定一条直线，就可以判断这两点所在的直线就是这条线段的垂直平分线。 例题1、如图所示，P为线段AB外的一点，并且PA=PB。 求证：点P在线段AB的垂直平分线上。 分析：要想说明某一点在线段的垂直平分线上，可以根据线段的垂直平分线的定义来进行判断。 证明：过点P作PC⊥AB，垂足为点C。 因为PA=PB， 所以∠A=∠B。 又因为PC⊥AB， 所以∠PAB=∠PBA=90°. 在△PAC和△PBC中 ABPACPBC PCPCPA所以△PAC≌△PBC， 所以AC=BC。 又因为PC⊥AB， 所以PC垂直平分线段AB， 所以点P在线段AB的垂直平分线上。 CB例题2、如图所示，在△ABC中，D为BC上的一点，连结AD，点E在AD上，并且∠1=∠2，∠3=∠4。求证：AD垂直平分BC。 分析：本道题目可以选取第二种判断方法，也就是通EB=EC，AB=AC，从而证明出AD垂直平分BC。 证明： 因为∠1=∠2， 所以EB=EC， 所以点E在线段BC的垂直平分线上。 又因为∠1=∠2，∠3=∠4， 3A过得出E142BDC 本文来源：https://www.dywdw.cn/3679f804690203d8ce2f0066f5335a8103d2667a.html
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2023-04-22
