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线性代数知识点总结（第5章） （一）矩阵的特征值与特征向量 1、特征值、特征向量的定义： 设A为n阶矩阵，如果存在数λ及非零列向量α，使得Aα=λα，称α是矩阵A属于特征值λ的特征向量。 2、特征多项式、特征方程的定义： |λE-A|称为矩阵A的特征多项式（λ的n次多项式）。 |λE-A |=0称为矩阵A的特征方程（λ的n次方程）。 注:特征方程可以写为|A-λE|=0 3、重要结论： （1）若α为齐次方程Ax=0的非零解，则Aα=0·α，即α为矩阵A特征值λ=0的特征向量 （2）A的各行元素和为k，则(1，1，…，1)T为特征值为k的特征向量。 （3）上（下）三角或主对角的矩阵的特征值为主对角线各元素。 △4、总结：特征值与特征向量的求法 （1）A为抽象的：由定义或性质凑 （2）A为数字的：由特征方程法求解 5、特征方程法： （1）解特征方程|λE-A|=0，得矩阵A的n个特征值λ1，λ2，…，λn 注：n次方程必须有n个根(可有多重根，写作λ1=λ2=…=λs=实数，不能省略) （2）解齐次方程（λiE-A）=0，得属于特征值λi的线性无关的特征向量，即其基础解系（共n-r（λiE-A）个解） 6、性质： （1）不同特征值的特征向量线性无关 （2）k重特征值最多k个线性无关的特征向量 1≤n-r（λiE-A）≤ki （3）设A的特征值为λ1，λ2，…，λn，则|A|=Πλi，Σλi=Σaii （4）当r（A）=1，即A=αβT，其中α，β均为n维非零列向量，则A的特征值为λ1=Σaii=αTβ=βTα，λ2=…=λn=0 （5）设α是矩阵A属于特征值λ的特征向量，则 A λ α （二）相似矩阵 7、相似矩阵的定义： 设A、B均为n阶矩阵，如果存在可逆矩阵P使得B=P-1AP，称A与B相似，记作A~B 8、相似矩阵的性质 （1）若A与B相似，则f（A）与f（B）相似 （2）若A与B相似，B与C相似，则A与C相似 （3）相似矩阵有相同的行列式、秩、特征多项式、特征方程、特征值、迹（即主对角线元素之和） 【推广】 （4）若A与B相似，则AB与BA相似，AT与BT相似，A-1与B-1相似，A*与B*也相似 （三）矩阵的相似对角化 9、相似对角化定义： f（A） f（λ） α AT λ / A-1 λ-1 α A* |A|λ-1 α P-1AP（相似） λ P-1α 如果A与对角矩阵相似，即存在可逆矩阵P，使得P-1AP=Λ= 称A可相似对角化。 ， 注：Aαi=λiαi（αi≠0，由于P可逆），故P的每一列均为矩阵A的特征值λi的特征向量 10、相似对角化的充要条件 （1）A有n个线性无关的特征向量 （2）A的k重特征值有k个线性无关的特征向量 11、相似对角化的充分条件： （1）A有n个不同的特征值（不同特征值的特征向量线性无关） （2）A为实对称矩阵 12、重要结论： （1）若A可相似对角化，则r（A）为非零特征值的个数，n-r（A）为零特征值的个数 （2）若A不可相似对角化，r（A）不一定为非零特征值的个数 （四）实对称矩阵 13、性质 （1）特征值全为实数 （2）不同特征值的特征向量正交 （3）A可相似对角化，即存在可逆矩阵P使得P-1AP=Λ （4）A可正交相似对角化，即存在正交矩阵Q，使得Q-1AQ=QTAQ=Λ 本文来源：https://www.dywdw.cn/36d063e70b4c2e3f562763a4.html
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2022-07-24
