完全平方公式、平方差公式的几何背景

2023-03-13 09:01:33 第一文档网 [ 字体：小中大 ] [

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专题完全平方公式、平方差公式的几何背景

【例7】（2012•遵义）如图，从边长为（a+1）cm的正方形纸片中剪去一个边长为（a-1）cm的正方形（a＞1），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则该矩形的面积是（ C ）

A．2cm B2acm C．4acm D．（a-1）cm

分析：先求出正方形的边长，继而得出面积，然后根据空白部分的面积=正方形的面积-矩形的面积即可得出答案．

解答：解：由题意可得，正方形的边长为（m+n），

2

故正方形的面积为（m+n），

22

又∵原矩形的面积为4mn，∴中间空的部分的面积=（m+n）-4mn=（m-n）．故选C．

【例8】（2012•白银）如图，边长为（m+3）的正方形纸片，剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），若拼成的矩形一边长为3，则另一边长是（）

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2

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2

A．m+3 B．m+6 C．2m+3 D.2m+6

分析：由于边长为（m+3）的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），那么根据正方形的面积公式，可以求出剩余部分的面积，而矩形一边长为3，利用矩形的面积公式即可求出另一边长．

2222

解答：解：依题意得剩余部分为（m+3）-m=m+6m+9-m=6m+9，而拼成的矩形一边长为3，∴另一边长是

6m9

=2m+3．故选C． 3

【变式训练】

15.（2012四川绵阳）图（1）是一个长为2m，宽为2n（m＞n）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（ C ）

A．2mn B．（m+n） C．（m-n） D．m-n

16.如图所示，在边长为a的正方形中，剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），将余下部分拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a、b的恒等式为（ C ）

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2

2

222

A．（a-b）=a-2ab+b B．（a+b）=a+2ab+b

222

C．a-b=（a+b）（a-b） D．a+ab=a（a+b）

17.图①是一个边长为（m+n）的正方形，小颖将图①中的阴影部分拼成图②的形状，由图①

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2

2

和图②能验证的式子是（ B ）

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2

A.（m+n）-（m-n）=4mn

222

B.（m+n）-（m+n）=2mn

222

C.（m-n）+2mn=m+n

22

D.（m+n）（m-n）=m-n

18.（2012广东佛山）如图，边长为m+4的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个矩形，若拼成的矩形一边长为4，则另一边长为 2m+4 .

19.如图，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，若将图1的阴影部分拼成一个

22

长方形，如图2，比较图1和图2的阴影部分的面积，你能得到的公式是 a-b=（a+b）（a-b）.

20.利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式．例如，根据图甲，我们可以得到两

222

数和的平方公式：（a+b）=a+2ab+b．你根据图乙能得到的数学公式是（a-b）222 =a-2ab+b.

21.阅读材料并回答问题：我们知道，完全平方式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式也

22

可以用这种形式表示，如：（2a+b）（a+b）=2a+3ab+b，就可以用图（1）或图（2）等图形的面积表示．

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