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大数定理及其在生活中的应用 摘要：大数定律是随机现象统计规律性的具体表现，它在概率论与数理统计中一直占着重要地位。本文介绍了几种常用的大数定律，并给出一些简单应用，同时列写了一些生活中的大数。 关键词： 大数定律 历史 应用 大数 概率论与数理统计是研究随机现象的统计规律的学科，而随机现象的统计规律性只有在相同条件下进行大量重复试验和观察才会呈现出来。在随机事件的大量重复出现中，往往呈现几乎必然的规律，这个规律就是大数定律。也就是说，大数定理就是，在试验不变的条件下，重复试验多次，随机事件的频率近似于它的概率。 概率论历史上第一个极限定理属于贝努里，后人称之为“大数定律”，又称弱大数理论，贝努里对微积分、微分方程、变分法，尤其是概率论的奠基性研究做出了重要贡献。切比雪夫第一个给出伯努利大数定理的严格证明。辛钦大数定律是辛钦在1929 年证得，证明的主 要工具是特征函数。 常用的大数定理： （1）切贝雪夫大数定理：设是一列两两相互独立的随机变量，服从同一分布，且存在有限的数学期望a和方差σ2，则对任意小的正数ε，有： 该定律的含义是：当n很大，服从同一分布的随机变量的算术平均数将依概率接近于这些随机变量的数学期望。 （2）贝努里大数定律：设μn是n次独立试验中事件A发生的次数，且事件A在每次试验中发生的概率为P，则对任意正数ε，有： 该定律是切贝雪夫大数定律的特例，其含义是：当n足够大时，事件A出现的频率将几乎接近于其发生的概率，即频率的稳定性。 （3）辛钦大数定律：设为独立同分布的随机变量序列，若Xi的数学期望存在，则服从大数定律:即对任意的ε>0 有： 生活中的应用： （1）如果我们向上抛一枚硬币，硬币落下后哪一面朝上是不可预知的，但当我们上抛硬币的次数足够多后，达到上万次甚至几十万几百万次后，我们就会发现，硬币每一面向上的次数约占总次数的二分之一，也就是正面向上还是反面向上是等概率的。 （2）如果称量某个物体的重量，由于精度等各种因素的影响，当对同一物体重复称量多次时，可能会得到多个不同的数值，当称量次数的增加后，平均值逐渐接近于物体的真实重量。 简单地说，大数定理就是当试验次数足够多时，事件发生的频率无穷接近于该事件发生的概率。 生活中的大数： 地球已经存活了4600000000年；赤道周长40075公里；太阳的寿命约是10000000000年；银河系约有200000000000多个恒星。我国是世界上人口最多的国家；人口有1300000000多；我国最长的河流是长江；长度是6397公里；是世界第三大河；我国的万里长城长13000里。一天有24小时即1440分钟86400秒；一年有365天有8760小时525600分钟31536000 秒。 日常生活中发生的事件有些无规律可循，但很多是有规律的。可见大数定律在生活中有很重要的应用，而且大数定律在概率论与数理统计中占有重要地位,所以我们要掌握切比雪夫、贝努里、辛钦大数定律,而且会利用它们来解决生活中的实际应用问题，学会使用大数定律和将对我们的学习和生活带来很多帮助。 参考文献: [1] 概率论与数理统计（第二版） 王勇 田波平 科学出版社 [2]浅谈几个著名的大数定律及应用 李 蕊 青海大学成教学院 2010.No34 [3]大数定律与中心极限定理的实际应用 唐莉 李雁如 广东技术师范学院学报2005年第6期 本文来源：https://www.dywdw.cn/43699d2859eef8c75fbfb33a.html
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2023-03-02
