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江苏专转本高数考纲及重点总结 一、函数、极限和连续 （一）函数 （1)理解函数的概念：函数的定义,函数的表示法,分段函数. （2)理解和掌握函数的简单性质：单调性，奇偶性，有界性，周期性。 （3)了解反函数：反函数的定义，反函数的图象。 （4）掌握函数的四则运算与复合运算. （5)理解和掌握基本初等函数:幂函数，指数函数,对数函数，三角函数，反三角函数。 （6)了解初等函数的概念。 重点:函数的单调性、周期性、奇偶性，分段函数和隐函数 （二)极限 （1）理解数列极限的概念:数列，数列极限的定义，能根据极限概念分析函数的变化趋势.会求函数在一点处的左极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。 （2)了解数列极限的性质：唯一性,有界性，四则运算定理,夹逼定理，单调有界数列，极限存在定理，掌握极限的四则运算法则。 （3)理解函数极限的概念：函数在一点处极限的定义,左、右极限及其与极限的关系，x趋于无穷(x→∞，x→+∞，x→-∞）时函数的极限。 （4)掌握函数极限的定理:唯一性定理,夹逼定理,四则运算定理。 （5）理解无穷小量和无穷大量:无穷小量与无穷大量的定义，无穷小量与无穷大量的关系，无穷小量与无穷大量的性质，两个无穷小量阶的比较. （6）熟练掌握用两个重要极限求极限的方法. 重点:会用左、右极限求解分段函数的极限，掌握极限的四则运算法则、利用两个重要极限求极限以及利用等价无穷小求解极限. (三）连续 （1）理解函数连续的概念:函数在一点连续的定义,左连续和右连续，函数在一点连续的充分必要条件，函数的间断点及其分类. (2）掌握函数在一点处连续的性质：连续函数的四则运算，复合函数的连续性,反函数的连续性,会求函数的间断点及确定其类型。 （3)掌握闭区间上连续函数的性质：有界性定理，最大值和最小值定理，介值定理（包括零点定理）,会运用介值定理推证一些简单命题。 (4）理解初等函数在其定义区间上连续，并会利用连续性求极限。 重点：理解函数(左、右连续）性的概念，会判别函数的间断点.理解闭区间上连续函数的性质，并会应用这些性质（如介值定理、最值定理)用于不等式的证明。 二、一元函数微分学 （一）导数与微分 （1）理解导数的概念及其几何意义，了解可导性与连续性的关系,会用定义求函数在一点处的导数. （2）会求曲线上一点处的切线方程与法线方程。 (3)熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则以及复合函数的求导方法. (4）掌握隐函数的求导法、对数求导法以及由参数方程所确定的函数的求导方法，会求分段函数的导数。 （5)理解高阶导数的概念，会求简单函数的n阶导数。 （6)理解函数的微分概念，掌握微分法则，了解可微与可导的关系，会求函数的一阶微分. 重点：会利用导数和微分的四则运算、复合函数求导法则和参数方程的求导，会求简单函数的高阶导数(尤其是二阶导数）。 1 （二）中值定理及导数的应用 （1）了解罗尔中值定理、拉格朗日中值定理及它们的几何意义. (2）熟练掌握洛必达法则求“0/0”、“∞/∞”、“0∞”、“∞—∞”、“1∞”、“00”（4）掌握牛顿—莱布尼茨公式。 （5）掌握定积分的换元积分法与分部积分法. (6）理解无穷区间广义积分的概念，掌握其计算方法。 和“∞0"型未定式的极限方法。 (3)掌握利用导数判定函数的单调性及求函数的单调增、减区间的方法，会利用函数的增减性证明简单的不等式。 （4）理解函数极值的概念,掌握求函数的极值和最大(小）值的方法，并且会解简单的应用问题. （5）会判定曲线的凹凸性，会求曲线的拐点。 (6）会求曲线的水平渐近线与垂直渐近线. 重点：会用罗必达法则求极限，掌握函数单调性的判别法,利用函数单调性证明不等式，掌握函数极值、最大值和最小值的求法及其运用,会用导数判别函数图形的拐点和渐近线。 三、一元函数积分学 (一）不定积分 (1)理解原函数与不定积分概念及其关系，掌握不定积分性质,了解原函数存在定理。 （2）熟练掌握不定积分的基本公式。 （3）熟练掌握不定积分第一换元法，掌握第二换元法（限于三角代换与简单的根式代换）。 (4）熟练掌握不定积分的分部积分法. （二）定积分 （1）理解定积分的概念与几何意义，了解可积的条件。 （2）掌握定积分的基本性质。 (3）理解变上限的定积分是变上限的函数，掌握变上限定积分求导数的方法。 （7)掌握直角坐标系下用定积分计算平面图形的面积、旋转体的体积。重点：掌握不定积分的基本性质和基本积分公式，掌握不定积分的换元法与分部积分法,会求一般函数的不定积分；掌握积分上限的函数并会求它的导数，掌握牛顿—莱布尼兹公式以及定积分的换元积分法和分部积分法；会计算反常积分，会利用定积分计算平面图形的面积、旋转体的体积。 四、向量代数与空间解析几何 (一）向量代数 （1）理解向量的概念，掌握向量的坐标表示法，会求单位向量、方向余弦、向量在坐标轴上的投影。 (2)掌握向量的线性运算、向量的数量积与向量积的计算方法。 (3)掌握二向量平行、垂直的条件. （二)平面与直线 (1）会求平面的点法式方程、一般式方程.会判定两平面的垂直、平行。 （2)会求点到平面的距离. （3）了解直线的一般式方程，会求直线的标准式方程、参数式方程。会判定两直线平行、垂直. （4）会判定直线与平面间的关系(垂直、平行、直线在平面上）. 重点：会求向量的数量积和向量积、两向量的夹角，会求平面方程和直线方程。五、多元函数微积分 （一）多元函数微分学 (1）了解多元函数的概念、二元函数的几何意义及二元函数的极值与连续概念(对计算不作要求）。会求二元函数的定义域。 2 （2）理解偏导数、全微分概念，知道全微分存在的必要条件与充分条件。 （3）掌握二元函数的一、二阶偏导数计算方法。 （4)掌握复合函数一阶偏导数的求法。 （5）会求二元函数的全微分。 （6）掌握由方程F（x,y,z）=0所确定的隐函数z=z（x,y）的一阶偏导数的计算方法。 （7）会求二元函数的无条件极值. 重点：会求多元复合函数的一阶、二阶偏导数，会求多元隐函数的偏导数。 (二）二重积分 （1）理解二重积分的概念、性质及其几何意义。 （2）掌握二重积分在直角坐标系及极坐标系下的计算方法. 重点：掌握二重积分的计算方法，会将二重积分化为累次积分以及会交换累次积分的次序 六、无穷级数 （一）数项级数 (1）理解级数收敛、发散的概念。掌握级数收敛的必要条件,了解级数的基本性质。 (2)掌握正项级数的比值数别法。会用正项级数的比较判别法。 (3)掌握几何级数、调和级数与p级数的敛散性。 （4）了解级数绝对收敛与条件收敛的概念，会使用莱布尼茨判别法。 （二)幂级数 (1）了解幂级数的概念，收敛半径，收敛区间。 (2）了解幂级数在其收敛区间内的基本性质（和、差、逐项求导与逐项积分）。（3)掌握求幂级数的收敛半径、收敛区间（不要求讨论端点）的方法. 重点：掌握正项级数收敛性的判别法,几何级数与P级数及其收敛性，了解任 意项级数绝对收敛与条件收敛的概念以及它们之间的关系，了解交错级数的莱布尼茨判别法，会求幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域。 八、常微分方程 （一)一阶微分方程 （1）理解微分方程的定义,理解微分方程的阶、解、通解、初始条件和特解。 （2）掌握可分离变量方程的解法。 （3）掌握一阶线性方程的解法。 (二）二阶线性微分方程 (1）了解二阶线性微分方程解的结构。 （2）掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法. 重点：掌握变量可分离微分方程、齐次微分方程和一阶线性微分方程的求解方法、会解二阶常系数齐次线性微分方程,会解自由项为多项式、指数函数的二阶常系数非齐次线性微分方程. 3 本文来源：https://www.dywdw.cn/43cb6576021ca300a6c30c22590102020640f246.html
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2022-03-02
