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复数是形如x+iy的数，其中x和y都是实数，i是虚数单位（即满足关系i2= -1的数，） 从16世纪开始，解高于一次的方程的需要导致复数概念的形成。解一元二次方程就遇到负数开平方的问题，如：x2+1=0。G.卡尔诺在《大法》（1545）中阐述一元三次方程解法时，发现难以避开复数。吉拉尔认为复数至少可以作为代数方程的形式解。也有不少数学家不承认复数，例如笛卡儿。事实上，“虚数”这个称呼就始自笛卡儿，他认为这个数是“虚幻的”。关于复数及代数运算的几何表示，是18世纪末到19世纪30年代由C.韦塞尔、J.B.阿尔根和C.F.高斯等人建立的。高斯引进了“复数”这一名词。 复数的一般形式是z=x+iy，其中x和y分别称为z的实部和虚部，记作x=Rez，y=Imz。 如果Imz=0，那么z=Rez=0是实数；如果Imz≠0，那么z称为虚数；如果Imz≠0，而Rez=0，那么z称为纯虚数。两复数z1和z2相等就是它们的实部和虚部分别相等，记作z1=z2。 在平面上取直角坐标系Oxy，以坐标为（x , y）的点表示复数z=x+iy，于是Ox轴上的点表示实数，Oy轴的点（y≠0）表示纯虚数。Ox轴和Oy轴分别称为实轴和虚轴；Oxy平面称为复平面，或者按表示复数的字母z称它为z平面。 复数也可用在实轴及虚轴上的投影分别是x及y的向量表示，起点可安放在平面上任一点，如在原点。向量z=x+iy的长度称为复数z的模，记作| z |，显然。实轴的正向与向量z（z≠0）之间的夹角称为复数的幅角，记作 Argz，Argz有无穷多个值，在-π与+π之间的值称为Argz，的主值，记作argz。于是z可用三角表示式表示为z=| z |（cosargz+isinargz），也可表示为指数形式。 设全体复数构成的集为C。复数的加法和乘法定义为。 （x1+iy1）+（x2+iy2）=（x1+x2）+i（y1+y2）， （x1+iy1）+（x2+iy2）=（x1x2-y1y2）+i（x1y2+x2y1）， 式中x1，x2，y1，y2都是实数。在C上引进这两种运算，可以证明它构成一个域，称为复数域。复数域包括实数R，但复数域不是有序数，即两个复数不能比较大小。 在复平面上，约定有一个无穷远点，以表示。加上 作出 的几何表示，可把复数表示在球面上。 的复平面称为扩充复平面。为了在点坐标是（x，y，u）的三维空间中，把Oxy平面看作就是z = x+iy平面。考虑球面。 x2+y2+u2=1 取定球面上的点N（0，0，1），称为球极，作连接N与Oxy平面上任一点A（x，y，0 ）的直线，并设这直线与球面的另一交点为 ，那么 称为A在球面上的球极射影。用它来表示复数z=x+iy。显然，如果点z的模愈大，那么它的球极射影愈接近于N。约定N是无穷远点 的球极射影，这样，在球面与扩充复平面之间建立了同构。这种球面称为复球面或黎曼球面。 本文来源：https://www.dywdw.cn/446bdd033269a45177232f60ddccda38376be10c.html
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2023-11-26
