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小概率事件原理的教学设计 作者：赵远英，管毅，姚廷富，庞一成 来源：《教育教学论坛》 2014年第26期 赵远英1，管毅1，姚廷富1，庞一成2 （1.贵阳学院数学与信息科学学院，贵州贵阳550005； 2.贵州财经大学数学与统计学院，贵州贵阳550025） 摘要：为了更容易地学习小概率事件原理，本文首先对小概率事件和小概率事件原理做了简要的介绍；之后给出教学应用案例；在本文的最后给出了此原理的哲学思考。 关键词：小概率事件；小概率事件原理；哲学思考 中图分类号：G642.4 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）26-0238-02 一、小概率事件与小概率事件原理 在概率统计的教学内容中，通常将概率非常小（一般小于0.05或0.01）的随机事件称为小概率事件。小概率事件原理一般指：若一个事件E发生的概率非常小，则在一次试验中实际上E是几乎不可能发生的。小概率事件原理告诉我们：如果小概率事件在一次试验中竟然发生了，那么根据小概率事件原理可以推断出这是一种不正常的现象，在实际应用时应引起高度重视。在概率统计的教学内容中，这个原理是一个基本而又有广泛应用价值的原理，下面介绍小概率事件原理的几个实际应用案例，仅供教学参考。 二、应用举例 （一）小概率事件原理在贝叶斯统计中的应用[1，2]英国统计学家Savage L J曾经考虑如下两个统计试验：（a）一位常饮牛奶加茶的妇女声称，她能辨别先倒进杯子里的是牛奶还是茶。对此做了十次试验，她都正确说出了。（b ）一位音乐家声称，他能从一页乐谱辨别出是莫扎特（Mozart）还是海顿（Haydn）的作品。在十次这样的随机试验中，也能辨别正确。在以上两个统计试验中，我们的零假设为被试验者完全是猜测，即每次猜对的概率为0.5，则十次都猜对概率为（0.5）10=0.0009766，这是一个非常小的概率，是几乎不可能发生的，但小概率事件竟然在一次试验中发生了，所以认为“每次猜对的概率为0.5”的零假设应被否定。被试验者每次猜对的概率应该要比0.5大得多。这就证明不是猜测，而是因为他们的经验帮了他们的忙。可见，先验信息（经验）在统计推断中不容忽视，应加以利用。 （二）小概率事件原理在考试检验中的应用[3] 某学校随机进行一次数学抽查考试，试题共10道，试题的难易程度对某班某同学而言，根据他的平时成绩，每道题做对的可能性为0.2，测试结果显示：该同学做对了8道题，问该同学的考试成绩是否真实？我们现在将每道题看作一次试验，每次试验只有两个结果：“做对”和“做错”。因此可将该问题归结为贝努里概型，该同学10道题做对8道题的概率是：C810（0.2）8（0.8）2=0.000075。这显然是一个概率很小的随机事件，由题意可知小概率事件居然在一次试验中发生了，这属于不正常的现象。小概率事件原理告诉我们：这个同学的成绩是不真实的，有理由怀疑其有作弊行为。 （三）小概率事件原理在日常生活中的应用[2] 某生产线中袋装盐的质量X服从正态分布。X的均值是1000g，标准差是20g，即X~N（1000，202）。现对袋装盐进行抽样调查，结果是有一袋盐的质量为1080g，我们是否有理由怀疑生产线出了问题？假设X~N（滋，滓2），我们有p（滋-3滓约X约滋+3滓）=p（-3约X-滋滓约3）=Φ（3）-Φ（-3）=2Φ（3）-1=0.9973。 由此我们可以看出，随机变量X的值几乎以概率1落入区间（滋-3滓，滋+3滓）内。即随机变量X以很小的概率（小于0.003）落入区间（滋-3滓，滋+3滓）之外。换言之，该事件为一小概率事件。由上述正态分布的3滓原则，袋装盐应几乎以概率1落入区间（1000-3×20，1000+3×20）=（940，1060）内，或以0.0027的概率落入区间（940，1060）外，现在被抽查的袋装盐为1080g，落入区间（940，1060）之外。小概率事件在一次试验中居然发生了，根据小概率事件原理，有理由怀疑该生产线出现了问题，需要检修。 三、小概率事件原理的哲学思考[4] 关于小概率事件原理，应从两个方面去认识它：一方面小概率事件原理告诉我们，小概率事件在一次试验中是几乎不可能发生的，因此我们完全不必担心乘坐飞机会发生空难、使用煤气会发生爆炸、在我们生活的城市会遭受恐怖袭击等小概率事件。同时，小概率事件并不是绝对的在一次事件中一定不会发生，它有发生的概率（或可能性）。如果小概率事件真的发生了，通常被认为是意外。另一方面在不断的独立重复试验中，小概率事件终将以概率1发生。因此有“水滴石穿”和“只要功夫深，铁杵磨成针”等格言作为佐证。 另外，对一些不利因素的小概率事件，我们也要警惕它的存在性。比如“千里之堤溃于蚁穴”就是最生动的例子。综上所述，在生活中我们要辩证地看待小概率事件和小概率事件原理。 四、结论 小概率事件和小概率事件原理是概率统计教学内容的基础和精髓，同时其应用十分灵活和广泛。在教学环节中，最重要的是理解和掌握其基本思想。 参考文献： [1]茆诗松，王静龙，濮晓龙.高等数理统计[M].北京：高等教育出版社，2006. [2]肖杰华，小概率事件原理及其应用[J].青海师专学报，2009，（5）. [3]朱瑟珍，小概率事件原则应用实例几则[J].工科数学1987，（4）. [4]王胜青，从一则谚语例谈小概率事件[J].甘肃高师学报2006，11（5）. 基金项目：贵阳学院引进人才启动基金科研项目“纵向数据再生散度偏正态混合效应模型的似然推断及其应用”；贵州省科学技术基金项目“与Witt代数相关的一类无限维李代数的不可约模”（贵阳学院联合基金计划项目编号：2013GZ18804）；贵阳学院教学团队建设项目（数学建模团队；应用数学教学团队）阶段性成果。 作者简介：赵远英（1981-），男，白族，贵州大方人，贵阳学院数学与信息科学学院讲师，博士。主要研究方向：应用统计。 本文来源：https://www.dywdw.cn/468d40f7cbd376eeaeaad1f34693daef5ef71393.html
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2022-12-15
