【#第一文档网# 导语】以下是®第一文档网的小编为您整理的《(完整版)有理数的历史定义》，欢迎阅读！
有理数的历史定义 数学上，有理数是一个整数a和一个非零整数b的比，例如3/8，通则为a/b，故又称作分数。所有有理数的集合表示为Q，Q+,或。定义如下： 有理数的小数部分有限或为循环。不是有理数的实数遂称为无理数。 有理数在希腊文中称为λογος，原意是“成比例的数”。英文取其意，以ratio为字根，在字尾加上-nal构成形容词，全名为rational number，直译成汉语即是“可比数”。对应地，无理数则为“不可比数”。 但并非中文翻译不恰当。有理数这一概念最早源自西方《几何原本》，在中国明代，从西方传入中国，而从中国传入日本时，出现了错误。 明末数学家徐光启和学者利玛窦翻译《几何原本》前6卷时的底本是拉丁文。他们将这个词（“λογος”）译为“理”，这个“理”指的是“比值”。日本在明治维新以前，欧美数学典籍的译本多半采用中国文言文的译本。日本学者将中国文言文中的“理”直接翻译成了理，而不是文言文所解释的“比值”。后来，日本学者直接用错误的理解翻译出了“有理数”和“无理数”。 当有理数从日本传回中国时又延续错误。清末中国派留学生到日本，将此名词传回中国，以至现在中日两国都用“有理数”和“无理数”的说法 可见，由于当年日本学者对中国文言文的理解不到位，才出现了今天的误译。 运算[编辑] 有理数集对加、减、乘、除四则运算是封闭的。有理数的加法和乘法如下： 两个有理数和相等当且仅当有理数中存在加法和乘法的逆： 时， 古埃及分数[编辑] 主条目：古埃及分数 古埃及分数是分子为1、分母为正整数的有理数。每个有理数都可以表达为有限个两两不等的古埃及分数的和。例如： 对于给定的正有理数，存在无穷多种表达成有限个两两不等的古埃及分数之和的方法。 形式构建[编辑] 数学上可以将有理数定义为建立在整数的有序对上的等价类，这里不为零。我们可以对这些有序对定义加法和乘法，规则如下： 为了使，定义等价关系如下： 这种等价关系与上述定义的加法和乘法上是一致的，而且可以将Q定义为整数有序对关于等价关系~的商集：。例如：两个对 (a, b)和 (c, d)是相同的，如果它们满足上述等式。（这种构建可用于任何整数环，参见商域。） Q上的全序关系可以定义为： 当且仅当 1. 2. 并且并且 有理数集是可数的 集合，以及上述的加法和乘法运算，构成域，即整数的商域。 的一个拷贝（即存在有理数是特征为0的域最小的一个：所有其他特征为0的域都包含一个从到其中的同构映射）。 的代数闭包，例如有理数多项式的根的域，是代数数域。 所有有理数的集合是可数的，亦即是说夫数的基数（或势）与自然数集合相同，都是阿列。因为所有实数的集合是不可数的，从勒贝格测度来看，可以认为绝大多数实数不是有理数。 本文来源：https://www.dywdw.cn/49dc4628f7335a8102d276a20029bd64793e6210.html
下载此文档
搜索文档
阅读：
文档下载
2023-05-02
