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g(y)dyf(x)dx1.可分离变量的微分方程 初值问题 yxx0y0的解为 yg(y)dyxf(x)dx 00yx2.一阶线性微分方程 dyP(x)yQ(x) 的通解公式为dxP(x)dxP(x)dxye(Q(x)edxC) dyP(x)yQ(x)3.初值问题 dx 的解为 yxx0y0P(x)dxP(x)dxx0yex0(Q(x)edxy0) xx0xxdyyydydu()uyux于是有ux4.齐次型方程 xdxdxdxxdu(u)这是一个可分离变量的微分方程。 便得到uxdx分离变量后积分dudx (u)uxdyaxbyca1b1其中 5.可化为齐次型的方程 dxa1xb1yc1ab当cc10时方程是齐次型的,否则是非齐次型的。在非齐次型的情形下,可用如下的代换把它化为齐次型的。作代换 xXh,yYk ahbkc0dYaXbY(ahbkc) 再令 可定出h和k dXa1Xb1Y(a1hb1kc1)a1hb1kc106.伯努利方程 作代换zy1dyP(x)yQ(x)y (0,1) dxdzdy(1)y 则 ,于是有 dxdxdz(1)P(x)z(1)Q(x) ,这是一阶线性方程。 dx7.可降阶的二阶微分方程 (1) y''f(x) (2) y''f(x,y') 设y'p 那么y''dpp' 从而方程就化为dxp'f(x,p) 这是一个关于变量x,p的一阶微分方程。如果我们求出它的通解为y'p(x,C1),那么再通过积分,可得原方程的通解y(x,C1)dxC2 (3) y''f(y,y') 设y'p y''dpdpdydpp dxdydxdydpf(y,p) 这是一个关于变量y,从而方程就化为pp的一阶微分dy方程。如果我们求出它的通解y'p(x,C1) 那么分离变量并两端dyxC2 积分,可得原方程的通解为(y,C1) 本文来源:https://www.dywdw.cn/49f47dd09b8fcc22bcd126fff705cc1754275f41.html