一般矩形面积公式

2023-03-13 09:01:12 第一文档网 [ 字体：小中大 ] [

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一般矩形面积公式的证明

定理：矩形面积公式S=ab a为长，b为宽。

证：令S=f(a,b),显然当a扩大p倍时(p是正整数),面积扩大p倍，因为可以用p个小矩形填充大矩形。 ∴f(pa,b)=pf(a,b) 把a用

aaa1

来代，得：f(a,b)=pf(,b) 即f(,b)=f(a,b) pppp

∴f(

p1p

a,b)=f(pa,b)=f(a,b) qqq

∴对任意有理数r,有f(ra,b)=rf(a,b)

lim

当α为无理数时，作一有理点列rn→α(n→∞),f(αa,b)=f(nrna,b)

∵f(a,b)关于(a,b)是连续的（这是显然的）

limlimlim∴f(nrna,b)=nf(rna,b)=nrnf(a,b)=αf(a,b),即f(αa,b)=αf(a,b)

综上，对任意k>0,有f(ka,b)=kf(a,b) 又∵a与b位置是对等的

∴对任意k>0,也有f(a,kb)=kf(a,b)

∴对任意m,n>0,有f(ma,nb)=mf(a,nb)=mnf(a,b) 令a=b=1,则f(m,n)=mnf(1,1)

上式对任意m,n>0均成立，所以f(a,b)=abf(1,1) 令f(1,1)=c,S=f(a,b)=cab

实际中，为使问题简化，常令c=1,即人为规定长宽均为1的矩形面积为1，所以有S=ab 证毕。

有了矩形面积公式，其它任何图形都可以通过微积分转化为求矩形面积之和。

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