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极坐标系中的常用方法 浙江省诸暨中学(311800) 赵岳云 在极坐标系中,由于点的极坐标,有着十分明显的几何意义,因此,在解决问题过程中,合理应用几何意义,联系与之有关的几何性质,不仅可以提高我解决问题的能力和速度,更重要的是可以培养我们的思考问题的能力,还会开拓我们的视野,丰富我们的智慧。 如:如图,过点P,22于点B2,任意作一直线交极轴Ox于点A1,0,交直线,333其中,1,2R,求证:11112 这是一个常见的问题,解决它也不是一件费心的事,但我们不停留的只解决问题的层面上,而是从联系的观点看问题,从创新的角度思考问题,我们也不会满足一种解法了。 方法一:应用面积公式 ∵在极坐标系中,若点A、B的坐标分别为1,1、2,2则ΔAOB的面积S=∴SAOP121212|sin(12)| 34341sin31 SBOP12122sin32 SAOB12sin233412 而SAOB=SAOP+SBOP1212 ∴11112 方法二:应用余弦定理 ∵在极坐标系中,若点|AB|12212cos1(2) 222A、B的坐标分别为1,1、2,2,则如图可知:|AP|121cos|BP|2222222223212 2221 22cos|AB|12212cos23232221212 而|AB|=|AP|+|PB|化简(过程较繁)可得方法三:应用正弦定理 设OAP 则在ΔAOB中sin(11112 13)2sin1232tan12 同理在ΔAOP中sin(123)sin132tan12 ∴1121即11112 方法四:应用角平分线定理 ∵OP是AOB的平分线,∴|OA||OB||AP||PB| 由上知:122211221112222 ∴化简可得12 方法五:利用相似三角形的性质 如图,过点B作BC||OP交Ox的反向延长线于C,显然OBC为正三角形, ∴|OC|=|OB|=|BC|=2 又ΔAOP∽ΔACB ∴|OP||CB||AO||AC|2112 即11112 方法六:应用直线方程 3(213)sincos1 先记点P的坐标为3,求得过点P、A的直线的极坐标方程为333∵点B2,1111112就是 在直线上,代入化简可得312123 本文来源:https://www.dywdw.cn/58162febd6bbfd0a79563c1ec5da50e2524dd1a8.html