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静力学(由高考到竞赛) 陕西师大附中 陈宏社 一、一般物体的平衡 力对物体的合力对物体的平动有影响 (F外0) 作用可以改1、共点力的平衡： 合力矩对物体的转动有影响 (M0)1>共点力：几个力如果作用在物体的同一个点，或者它们的作用线相交于同一个点，这几个力叫做共点力。 2>例题分析： 【例】如图所示，三个相同的支座上分别放着三个质量和直径都相等的光滑圆球α、b、c，支点P、Q在同一水平面上．α球的重心Oa位于球心，b球的重心Ob位于球心的正上方，C球的重心Oc位于球心的正下方．三个球都处于平衡状态．支点P对α球、b球、c球的弹力分别为Fa、Fb、Fc，则 （A） A．Fa＝Fb＝Fc B．Fb＞Fa＞Fc C．Fb＜Fa＜Fc D．Fa＞Fb＝Fc 【例】重为G的均质杆一端放在粗糙的水平面上,另一端系在一条水平绳上,杆与水平面成α角,如 图所示,已知水平绳中的张力大小F1,求地面对杆下端的作用力大小和方向. 【 【例】如图所示，长为L 、粗细不均匀的横杆被两根轻绳水平悬挂，绳子与水平方向的夹角在图上已标示，求横杆的重心位置。 【例】重量为G的一根均匀硬棒AB,杆A端被绳吊起,在杆的另一端B作用一个水平的拉力F,把杆拉向右边,使整个系统平衡后,棒与绳跟竖直方向夹角为?和?,如图所示,求证tan2tan 【例】如图所示：一重为G的绳子．它的两端挂在同一高度的两个挂钩上，绳的两端与水平线的夹角为θ，则绳的最低点处的张力为多大? 【例】如图所示，一个半球形的碗放在桌面上，碗口水平，O是球心，碗的内表面光滑．一根轻质杆的两端固定有两个小球，质量分别是m1、m2，当它们静止时，m1、m2与球心的连线跟水平面分别成60°30°角，则碗对两小球的 A. 1∶2 B. 3∶1 C. 1∶3 D.3∶2 【练习】如图所示，BC两个小球均重G,用细线悬挂而静止于A、G两点，细线BC伸直.求:⑴AB和CD两根细线的拉力各多大？⑵细线BC与竖直方向的夹角是多大？ 【练习】如图所示，光滑半球壳直径为a ，与一光滑竖直墙面相切，一根均匀直棒AB与水平成60°角靠墙静止，求棒长． 【练习】如图所示，在墙角处有一根质量为m的均匀绳，一端悬于天花板上的A点，另一端悬于竖直墙壁上的B点，平衡后最低点为C，测得绳长AC=2CB，且在B点附近的切线与竖直成α角，则绳在最低点C处的张力和在A处的张力各多大？ 【练习】如图所示，对均匀细杆的一端施力F，力的方向垂直于杆．要将杆从地板上慢慢地无滑动地抬起，试求杆与地面间的最小摩擦因数． 2、转动平衡 1>力矩(是改变物体转动状态的原因 ) 力的三要素是大小、方向和作用点。由作用点和力的方向所确定的射线称为力的作用线。力作用于物体，常能使物体发生转动，这时外力的作用效果不仅取决于外力的大小和方向，而且取决于外力作用线与轴的距离——力臂(d) 定义：力与力臂的乘积称为力矩 M=d F 通常规定:绕逆时方向转动的力矩为正。当物体受到多个力作用时，物体所受的总力矩等于各个力产生力矩的代数和 2>力偶和力偶矩 一对大小相等、方向相反但不共线的力称为力偶。 力偶不能合成为一个力，是一个基本力学量。 对于与力偶所在平面垂直的任一轴，这一对力的力矩的代数和称为力偶矩 M=F1d=F2d(其中d为两力间的距离) 【注】力偶矩与所相对的轴无关。 3>有固定转动轴物体的平衡 有固定转轴的物体，若处于平衡状态，作用于物体上各力的力矩的代数和为零。 åM=0【例】如图所示．梯子长为2l,重量为G，梯子上的人的重量为G，人离梯子下端距离为h，梯子与地面夹角为q,梯子下端与地面间的摩擦因数为m,梯子上端与墙的摩擦力忽略不计，试求梯子不滑动时的h值． 【例】—个半径为r的均匀球体靠在竖直墙边，球跟墙面和水平地面间的静摩擦因数都为?,如果在球上加一〃个竖直向下的力F，如图1-37所示．问；力F离球心的水平的距离s为多大，才能使球做逆时针转动? 【例】如图所示．均匀杆L1和A端用铰链固定在墙上，B端与L2相接触，AB水平，均质杆L2的C端也用铰链固定于C点．与墙壁成30?角，两杆处于静止状态，L1重10N．L2重5N，求杆L1的B端受杆L2的作用力大小． 【练习】两杆A和Ｂ一端放在光滑水平地板上，另一端均靠在光滑竖直墙上．两杆夹角为90?时平衡，如图1-30所示，杆长分别为a，b．杆重分别为GA，和GB。，则两竖直墙间的距离d为多少? 【练习】如图所示，两个重力分别为G1和G2的小圆环用细线连着套在一个竖直固定的大圆环上，如果连线对圆心的夹角为?，当大圆环和小圆环之间的摩擦力及线的质量忽略不计时，求连线与竖直方向夹角? 【练习】用20块质量均匀分布的相同光滑积木块,在光滑水平面上一块叠一块地搭成单孔桥,已知每一积木块长度为L.横截面是边长为h的正方形，要求此桥具有最大跨度(即桥孔底宽）,试画出桥的示意图,并计算跨度s与桥孔高度H的比值。 【练习】有一吊盘式杆秤，量程为10kg.现有一西瓜超过此秤量程，店员A找到另一相同的秤跎．把它与原秤砣结在一起进行称量，平衡时，双砣位于6.5kg刻度处．A将此读数乘以2得13kg，作为西瓜的质量.为了检验,他取另一西瓜．正常称量为8kg，用砣称量读数为3kg．乘以2后得6kg，这证明A的办法O C L4不可靠，试问，A所称的那个西瓜的实际质量是多大? 二、力学中常见的三种力 1.重力、重心、质心 物体的重心即重力的作用点。在重力加速度g为常矢量的区域，物体的重心是惟一的（我们讨论的都是这种情形），重心也就是物体各部分所受重力的合力的作用点，由于重力与质量成正比，重力合力的作用点即为质心，即重心与质心重合。 求重心，也就是求一组平行力的合力作用点。 【例】相距L，质量分别为m1,m2的两个质点构成的质点组，其重心在两质点的连线上，求解重心距两物体圆心的距离。 【注】①均匀规则形状的物体，其重心在它的几何中心； ②求一般物体的重心，常用的方法是将物体分割成若干个重心容易确定的部分后，利用力矩和为零的平衡条件来求物体的重心位置。 物体重心（或质心）位置的求法 【例】如图由重量分别为G1,G2的两均匀圆球和重量为G3的均匀杆连成的系统，设立如图坐标系，原点取在A球最左侧 点，两球与杆的重心的坐标分别为x1,x2,x3，系统重心在P点，我们现在求其坐标x。设想在P处给一支持力F，令R=G1+G2+G3达到平衡时有： MGx?x11G2x2G3x3Rx0 G1x1+G2x2+G3x3G1x1+G2x2+G3x3 =FG1+G2+G3这样就得出了如图所示的系统的重心坐标。若有多个物体组成的系统，我们不难证明其重心位置为： GixixGiGiyyGiGizzGi 一般来说，物体的质心位置与重心位置重合，由上面公式很易得到质心位置公式： mixixmimiyiymimzziimi 【练习】匀质球A质量为M，半径为R,匀质棒B质量为m，长度为L，求它的重心 【练习】求如图所示中重为G的匀均质板（阴影部分）的重心O的位置（面密度为s）。 【练习】如图，有5个外形完全一样的均匀金属棒首尾相接焊在一起，从左至右其密度分别为ρ、⒈1ρ、⒈2ρ、⒈3ρ、⒈4ρ，设每根棒长均为l，求其质心位置，若为n段，密度仍如上递增，质心位置又在什么地方？ 【练习】如图所示，求图示均匀薄板的重心，大正方形的边长为a,挖去的小正方形的边长是大正方形的四分之一，一个顶点在大正方形的几何中心上，两正方形各对应边相互平行 【练习】如图所示，A、B原为两个相同的均质实心球，半径为R，重量为G，A、B球分别挖去半径为和试求系统的重心位置。 2.巴普斯定理： 质量分布均匀的平面薄板：垂直平面运动扫过的体积等于面积乘平面薄板重心通过和路程。 【例】求如图所示的直角三角形的质心 【练】求均匀半圆盘的质心位置。 【推论】质量分布均匀的、在同一平面内的曲线：垂直曲线所在平面R23R35的小球，均质杆重量为G，长度l=4R，464 直曲线所在平面运动扫过的面积等于曲线长度乘曲线的重心通过路程。 【例】求质量均匀分布的半圆形金属线的质心位置 【拓展】如果是封闭线呢？设线密度为l 2、弹力 1>弹力 物体发生弹性变形后，其内部原子相对位置改变，而对外部产生的宏观反作用力。反映固体材料弹性性质的胡克定律，建立了胁强（应力）s=如图所示E 式中E为杨氏弹性模量，它表示将弹性杆拉长一倍时，横截面上所需的应力。 2>接触反力 —限制物体某些位移或运动的周围其它物体在接触处对物体的反作用力（以下简称 FDl与胁变（应变e=）之间的正比例关系，sl反力）。这种反力实质上是一种弹性力，常见如下几类： ìï方位:沿柔索①柔索类（图）如绳索、皮带、链条等，其张力Tï íïïî指向:拉物体一般不计柔索的弹性，认为是不可伸长的。滑轮组中，若不计摩擦与滑轮质量，同一根绳内的张力处处相等。 ②光滑面（图）接触处的切平面方位不受力，其法向支承力 方位:沿法线N指向:压物体 ③光滑铰链：物体局部接触处仍属于光滑面，但由于接触位置难于事先确定，这类接触反力的方位，除了某些情况能由平衡条件定出外，一般按坐标分量形式设定。 （1）圆柱形铰链（图4,图15，图6）由两个圆孔和一个圆柱销组成。在孔的轴线方向不承受作用力，其分力 方位:沿x轴方位:沿y轴XY指向:待定 指向:待定 图中AC杆受力如图，支座B处为可动铰，水平方向不受约束，反力如图。 （2）球形铰链（图7,图8）由一个球碗和一个球头组成，其反力可分解为 X方位:沿坐标轴Y指向:待定Z ④固定端（图9，图10） 如插入墙内的杆端，它除限制杆端移动外，还限制转动，需增添一个反力偶MA。 X方位:沿坐标轴Y指向:待定 方位:平面力系作用面MA转向:待定 3>弹簧上的弹力：弹力的大小取决于变形的程度，弹簧的弹力，遵循胡克定律，在弹性限度内，弹簧弹力的大小与形变量（伸长或压缩量）成正比。 F=-kx 式中x表示形变量；负号表示弹力的方向与形变的方向相反；k为劲度系数，由弹簧的材料，接触反力和几何尺寸决定。 弹簧的串并联：两根劲度系数分别为k1，k2的弹簧 串联后的劲度系数为 =1k11+k1k2 并联后劲度系数为 k=k1+k2. 【例】题：两根劲度系数分别为K1和K2的轻弹簧竖直悬挂，下端用光滑的细线连接，把一光滑的轻滑轮放在细绳上，求当滑轮下 挂一重为G的物体时，滑轮下降的距离？ 【例】如图所示,劲度系数为k2的轻弹簧乙竖直固定在桌面上,上端连一质量为m的物块;另一劲度系数为k1的轻弹簧甲固定在物块上.现将弹簧甲的上端A缓慢向上提,当提到乙弹簧的弹力大小恰好等于mg时,求A点上提的高度? 3、摩擦力—摩擦角 摩擦力：物体与物体接触时，在接触面上有一种阻止它们相对滑动的作用力称为摩擦力。 不仅固体与固体的接触面上有摩擦，固体与液体的接触面或固体与气体的接触面上也有摩擦，我们主要讨论固体与固体间的摩擦。 1>摩擦分为静摩擦和滑动摩擦 ①当两个相互接触的物体之间存在相对滑动的趋势（就是说：假如它们之间的接触是“光滑的”，将发生相对滑动）时，产生的摩擦力为静摩擦力，其方向与接触面上相对运动趋势的指向相反，大小视具体情况而定，由平衡条件或从动力学的运动方程解算出来，最大静摩擦 23力为fmax=m0N,式中0称为静摩擦因数，它取决于接触面的材料与接触面的状况等，N为两物体间的正压力。 ②当两个相互接触的物体之间有相对滑动时，产生的摩擦力为滑动摩擦力。滑动摩擦力的方向与相对运动的方向相反,其大小与两物体间的正压力成正比即f=mN 【注】m为滑动摩擦因数，取决于接触面的材料与接触面的表面状况，在通常的相对速度范围内，可看作常量，在通常情况下，m0与m可不加区别，两物体维持相对静止的动力学条件为静摩擦力的绝对值满足 ffmaxN 在接触物的材料和表面粗糙程度相同的条件下，静摩擦因数m0略大于动摩擦因数m。 2>摩擦角 我们把m0=fm=tanj,则jFN，即令静摩擦因数为m0等于某一角摩的擦正切值，即m0=tgj，这个角就称为摩擦角。在临界摩擦（将要发生滑动状态下）,fmaxN0tg。 支承面作用于物体的沿法线方向的弹力N与最大静摩擦力fmax的合力F（简称全反力）与接触面法线方向的夹角等于摩擦角，如图所示（图中未画其他力）。在一般情况下，静摩擦力f0未达到最大值，即f0＃m0N,f0Nm0,f0 tgj N 因此接触面反作用于物体的全反力F的作用线与面法线的夹角 a=arctgf0，不会大于摩擦角，即a£j。物体不会滑动。由此可知，N运用摩擦角可判断物体是否产生滑动的条件。如图放在平面上的物体A，用力F去推它，设摩擦角为，推力F与法线夹角为，当a<j时，无论F多大，也不可能推动物块A，这种现象称为自锁现象。只有a>j时，才可能推动A。 摩擦力作用的时间 因为只有当两个物体之间有相对运动或相对运动趋势时，才有摩擦力，所以要注意摩擦力作用的时间。如一个小球竖直落下与一块在水平方向上运动的木块碰撞后，向斜上方弹出，假设碰撞时间为t，但可能小球不需要t时间，在水平方向上便已具有了与木块相同的速度，则在剩下的时间内小球和木块尽管还是接触的，但互相已没有摩擦力。 【例】如图所示，倾角为θ的斜面与水平面保持静止,斜面上有一重为G的物体A与斜面间的动摩擦因数为μ,且μθ,现给A施以一水平力F,设最大静摩擦力与滑动摩擦力相等,求水平推力F多大时物体能地斜面上静止 ？
【例】如图所示，半圆柱体重G，重心C到圆心O
的距离为4R/3π ，其中R为圆柱体半径．如半圆柱体与水平面间的摩擦因数为μ，求半圆柱体被拉动时所偏过的角度θ．
【例】物体放在水平面上，用与水平方向成30°的力拉物体时，物体匀速前进。若此力大小不变，改为沿水平方向拉物体，物体仍能匀速前进，求物体与水平面之间的动摩擦因素μ。
【练习】如果F的大小是可以选择的，那么能维持物体匀速前进的最小F值是多少？
【练习】如图所示，质量为m的物体放在水平地面上，物体与地面间的动摩擦因数为，想用力F推动物体沿
水平地面滑动，推力方向与水平面的夹角在什么范围内者是可能的？
【练习】如图所示，一上表面粗糙的斜面体上放在光滑的水平地面上，斜面的倾角为θ。另一质量为
m的滑块恰好能沿斜面匀速下滑。若用一推力F作用在滑块上，使之能沿斜面匀速上滑，且要求斜面体静止不动，就必须施加一个大小为P = 4mgsinθcosθ的水平推力作用于斜面体。使满足题意的这个F的大小和方向。
四、物体的平衡
1、物体相对于地面处于静止、匀速直线运动或匀速转动的状态，称为物体的平衡状态，简称物体的平衡．物体的平衡包括共点力作用下物体的平衡、具有固定转动轴的物体的平衡和一般物体的平衡． 当物体受到的力或力的作用线交于同一点时，称这几个力为共点力．物体在共点力作用下，相对于地面处于静止或做匀速直线运动时，称为共点力作用下物体的平衡．当物体在外力的作用下相对于地面处于静止或可绕某一固定转动轴匀速转动时，称具有固定转动轴物体的平衡．当物体在非共点力的作用下处于平衡状态时，称一般物体的平衡．
解决共点力作用下物体的平衡问题，或具有固定转动轴物体的平衡问
题，或一般物体的平衡问题，首先把平衡物体隔离出来，进行受力分析，然后根据共点力作用下物体的平衡条件：物体所受的合外力为零，即∑F＝0（如果将力正交分解，平衡的条件为：∑Fx =0、∑Fy=0）；或具有固定转动轴的物体的平衡条件：物体所受的合力矩为零，即∑M＝0；或一般物体的平衡条件：∑F＝0；∑M＝0列方程，再结合具体问题，利用数学工具和处理有关问题的方法进行求解． 2、物体的平衡又分为随遇平衡、稳定平衡和不稳定平衡三种． 1>稳定平衡：如果在物体离开平衡位置时发生的合力或合力矩使物体返回平衡位置，这样的平衡叫做稳定平衡．如图（a）中位于光滑碗底的小球的平衡状态就是稳定的．
2>不稳定平衡：如果在物体离开平衡位置时发生的合力或合力矩能使这种偏离继续增大，这样的平衡叫做不稳定平衡，如图 (b)中位于光滑的球形顶端的小球，其平衡状态就是不稳定平衡． 3>随遇平衡：如果在物体离开平衡位置时，它所受
的力或力矩不发生变化，它在新的位置上仍处于平衡，这样的平衡叫做随遇平衡，如图（c）中位于光滑水平板上的小球的平衡状态就是随遇的．
从能量方面来分析，物体系统偏离平衡位置，势能增加者，为稳定平
衡；减少者为不稳定平衡；不变者，为随遇平衡．
如果物体所受的力是重力，则稳定平衡状态对应重力势能的极小值，亦即物体的重心有最低的位置．不稳定平衡状态对应重力势能的极大值，亦即物体的重心有最高的位置．随遇平衡状态对应于重力势能为常值，亦即物体的重心高度不变． 3、方法演练
1>类型一、物体平衡种类的问题一般有两种方法解题，一是根据平衡的条件从物体受力或力矩的特征来解题，二是根据物体发生偏离平衡位置后的能量变化来解题。
【例】有一玩具跷板，如图所示，试讨论它的稳定性（不考虑杆的质量）．
【例】如图所示，均匀杆长为a，一端靠在光滑竖直墙上，另一端靠在光滑的固定曲面上，且均处于Oxy平面内．如果要使杆子在该平面内为随遇平衡，试求该曲面在Oxy平面内的曲线方程．
2>类型二、物体系的平衡问题的最基本特征就是物体间受力情况、平衡条件互相制约，情况复杂解题时一定要正确使用好整体法和隔离法，才能比较容易地处理好这类问题。 【例】三个完全相同的圆柱体，如图叠放在水平桌面上，将C柱放上去之前，A、B两柱体之间接触而无任何挤压，假设桌面和柱体之间的摩擦因数为μ0，柱体与柱体之间的摩擦因数为μ，若系统处于平衡，μ0与μ必须满足什么条件？
3>类型三、物体在力系作用下的平衡问题中常常有摩擦力，而摩擦力Ff与弹力FN的合力凡与接触面法线方向的夹角θ不能大于摩擦角，这是判断物体不发生滑动的条件．在解题中经常用到摩擦角的概念． [例]如图所示，有两根不可伸长的柔软的轻绳，长度分别为l1 和l2，它们的下端在C点相连接并悬挂一质量为m的重物，上端分别与质量可忽略的小圆环A、B相连，圆环套在圆形水平横杆上．A、B可
在横杆上滑动，它们与横杆间的动摩擦因数分别为μ1和μ2，且l1l2。
试求μ1和μ2在各种取值情况下，此系统处于静态平衡时两环之间的距离AB。
4>类型四、一般物体平衡条件的问题主要又分为刚体定轴转动平衡问题和没有固定转动轴的刚体转动平衡问题，这类问题要按一般物体平衡条件来处理，即要么既要考虑力的平衡，又要考虑力矩平衡来求解；要么就要考虑以哪点为转动轴或哪点先动的问题。 【例】质量分别为m和M的两个小球用长度为l的轻质硬杆连接，并按图所示位置那样处于平衡状态．杆与棱边之间的摩擦因数为μ，小球m与竖直
墙壁之间的摩擦力可以不计．为使图示的平衡状态不被破坏，参数m、M、μ、l、a和应满足什么条件？
【例】如图】，匀质杆长l，搁在半径为R的圆柱上，各接触面之间的摩擦因数均为μ，求平衡时杆与地面的夹角α应满足的关系．
【练习】 如图所示，长为L的均匀木杆AB,重量为G，系在两根长均为L的细绳的两端，并悬挂于O点，在A、B两端各挂一重量分别为G1、G2的两物，求杆AB处于平衡时，绳OA与竖直方向的夹角．
【练习】一长为L的均匀薄板与一圆筒按图所示放置，平衡时，板与地面成θ角，圆筒与薄板相接触于板的中心．板与圆筒的重量相同均为G．若板和圆筒与墙壁之间无摩擦，求地面对板下端施加的支持力和静摩擦力．
【练习】如图，两把相同的均匀梯子AC和BC，由C端的铰链 连起来，组成人字形梯子，下端A和B相距6m，C端离水平地面4m，总重200 N，一人重
600 N，由B端上爬，若梯子与地面的静摩擦因数μ＝0.6，则人爬到何处梯子就要滑动？
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2022-07-07
