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分式求值问题的解题技巧（二） 六、特殊值法 【例6】（2004年安庆市初中数学竞赛题）已知abc≠0，且a+b+c=0，则a(1a1c)b(1c1a)c(1a1b)的值为_______． 12 解：依题意，不妨令a=1，b=1，c=-2，则原式=（1-）+（-12+1）-2（1+1）=-3． 评注：根据填空题的特点，取满足条件的a、b、c的特殊值，问题立即获解，令人耳目一新． 七、解方程（组）法 【例7】（2003年合肥市初中数学竞赛题）已知x、y、z、a、b、c都为实数，•且xayaza1,axbycz=0，求xa22ybxa22ybzc22的值． zc 解：由已知得abc≠0，xyz≠0．将xa22=1两边平方得 yb222xy2xz22cabacczz2yz=1 ① bc 将xaby=0两边同乘以xyzabc，得yzbcxzacxyab=0． ② ①-②×2得 xa22yb22zc22=1． 评注：将待求值的分式整体视为一个未知数，再利用已知条件，通过解方程或方程组求出这个未知数． 八、构造一元二次方程法 【例8】（2002年沈阳市初中数学竞赛题）已知2a-7a=-2，2β+2=7β，且α≠β，求的值． 解：由已知条件，得2a2-7a+2=0，2β2-7β+2=0．因α≠β，故是一元二次方程2x2-7x+2=0的两个不等实根． ∴α+β=722222，αβ=1，于是， 原式= 33 =α-β= （α-β）（α+αβ+β） 3322=±()24[()2] 727245=±()4[()1]22833 评注：这里不直接求α与β的值，而是从α与β所满足的方程的共同特征出发，构造出一个一元二次方程，使问题顺序获得解． 九、整体拆出法 【例9】（2004年太原市初中数学竞赛题）若实数x、y、z满足3x+7y+z=•1•和4x+10y+z=2005，求分式x3y2004x2004y2004z的值． 解：由题意得方程组 3x7yz1,4x10z2005.2(x3y)(xyz)1, 3(x3y)(xyz)2005.x3y2004,解之得xyz4007. 于是原式= x3y2004(xyz)14007． 评注：这里待求分式的分母是2004（x+y+z），分子是x+3y，尝试从已知的不定方程组中整体拆出x+y+z和x+3y，果然获得成功，再整体消元就能立即求出x+y+z与x+3y这两个整体的值． 十、竖式相除法 【例10】（2002年杭州市初中数学竞赛题）已知x-5x+1=0，求的值． 解：视2x4-9x3-x2-10x+2为被除式，x2-5x+1为除式，利用竖式相除法得 2x4-9x3-x2-10x+2 =（2x2+x+2）（x2-5x+1）+（-x）． 22x9xx10x2x12432 本文来源：https://www.dywdw.cn/5e154bec0975f46527d3e184.html
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2023-04-02
