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泰勒公式中两种余项之比较及应用 摘要】泰勒公式是高等数学中的重要公式，它在近似计算、定理证明中发挥着重要作用.本文首先介绍了泰勒公式的两种余项，并做了比较，然后巧用两种余项，解决不同问题. 【关键词】泰勒公式;拉格朗日型余项;皮亚诺型余项;极限;拐点;不等式;级数敛散性 泰勒公式是高等数学的重要内容，因其能把复杂函数转化为多项式函数的特性，因此，在近似计算、定理证明等方面都发挥着重要作用.比较比较详细的阐述和论证，但是对这两种余项有何区别介绍较少.因此，在具体应用中，该使用哪种余项，让很多学生感觉十分迷茫. 以下我们将分别介绍带这两种余项的泰勒公式，并通过几个例子，帮助理解，拨开“迷雾〞. 一、两种不同余项的泰勒公式 〔一〕带有皮亚诺型余项的泰勒公式 定理1假设函数y=f〔x〕在点x0存在直至n阶导数，那么在x0近旁有 f〔x〕=f〔x0〕+f′〔x0〕〔x-x0〕+f″〔x0〕2！〔x-x0〕2+…+f〔n〕〔x0〕n！〔x-x0〕n+o〔〔x-x0〕n〕，其中，o〔〔x-x0〕n〕称为皮亚诺型余项. 特别地，假设x0=0，那么 f〔x〕=f〔0〕+f′〔0〕x+f″〔0〕2！x2+…+f〔n〕〔0〕n！xn+o〔xn〕， 称它为带有皮亚诺型余项的麦克劳林公式. 〔二〕带有拉格朗日型余项的泰勒公式 定理2假设函数y=f〔x〕在[a，b]上存在直至n阶的连续导数，在〔a，b〕内存在n+1阶导数，那么对任意给定的x，x0∈[a，b]，至少存在一点ξ∈〔a，b〕，使得 f〔x〕=f〔x0〕+f′〔x0〕〔x-x0〕+f″〔x0〕2！〔x-x0〕2+…+f〔n〕〔x0〕n！〔x-x0〕n+Rn〔x〕， 其中Rn〔x〕=f〔n+1〕〔ξ〕〔n+1〕！〔x-x0〕n+1，ξ介于x0与x之间，Rn〔x〕为拉格朗日型余项. 特别地，假设x0=0，那么 f〔x〕=f〔0〕+f′〔0〕x+f″〔0〕2！x2+…+f〔n〕〔0〕n！xn+f〔n+1〕〔θx〕〔n+1〕！xn+1，0称它为带有拉格朗日型余项的麦克劳林公式. 比对两个定理，我们发现，带有皮亚诺型余项的泰勒公式对函数的假设条件较少，只需要在x0处n阶可导，不需要n+1阶导数存在，也不需要在x0的邻域内存在n阶〔连续〕导数.皮亚诺型余项只是定性地告诉我们：当x→x0时，逼近误差是较〔x-x0〕n高阶的无穷小量，而拉格朗日型余项那么是一个定量形式的余项，是对逼近误差进行具体的计算或估算. 因此，应用上述定理，可以视问题的具体需求，在x0附近将函数进行带不同余项的泰勒展开. 二、带皮亚诺型余项的泰勒公式的应用 例1limx→06ex2sinx-x〔6+5x2〕arctanx-x+x33. 分析这个函数的极限可以利用洛必达法那么来求，但是分子、分母会变得越来越复杂.用泰勒公式那么方便得多，我们可以将函数展开成x的幂级数，余项用皮亚诺型.展开的目的是消去分子、分母中的多项式. 解ex2=1+x2+x42！+x63！+o〔x6〕， sinx=x-x33！+x55！+o〔x5〕， ex2·sinx=x+56x3+41120x5+o〔x5〕， arctanx=x-13x3+15x5+o〔x5〕， 原式=limx→06x+5x3+4120x5+o〔x5〕-6x-5x3x-x33+x55+o〔x5〕-x+x33 =limx→04120x5+o〔x5〕x55+o〔x5〕=414. 例2設f〔x0〕存在，且f〔x0〕≠0，f″〔x0〕=0，那么〔x0，f〔x0〕〕是否为曲线y=f〔x〕的拐点？ 解对f″〔x〕应用泰勒公式，有 f″〔x〕=f″〔x0〕+f〔x0〕〔x-x0〕+o〔x-x0〕. 由于f″〔x0〕=0， 那么有f″〔x〕=f〔x0〕〔x-x0〕+o〔x-x0〕. 由题设f〔x0〕≠0， 不妨设f〔x0〕>0，于是存在δ>0，使得x0f〔x0〕〔x-x0〕>0，从而有f″〔x0〕>0， 而当x0-δf〔x0〕〔x-x0〕所以f″〔x〕在x0两侧异号. 同理可证，假设f〔x0〕由拐点的定义可知，〔x0，f〔x0〕〕是曲线y=f〔x〕的拐点. 三、带拉格朗日型余项的泰勒公式的应用 例3证明：当0证明要证e2x设f〔t〕=lnt，将其展开为带有拉格朗日型余项的泰勒公式，可得 f〔t〕=f〔1〕+f′〔1〕〔t-1〕+f″〔ξ〕2！〔t-1〕2， f〔1+x〕=f〔1〕+f′〔1〕x+f″〔ξ1〕2！x2，1f〔1-x〕=f〔1〕+f′〔1〕〔-x〕+f″〔ξ2〕2！x2，1-x即ln〔1+x〕=x-x2ξ21·2！，1ln〔1-x〕=-x-x2ξ22·2！，1-x即有ln〔1+x〕-ln〔1-x〕=2x-x2ξ21·2！+x2ξ22·2！ =2x+1ξ22-1ξ21x22！>2x〔1-x从而不等式e2x例4设f〔x〕在x=0的某个邻域内具有二阶连续导数，且limx→0f〔x〕x=0，判断级数∑∞n=1f1n的敛散性. 解因为limx→0f〔x〕x=0， 所以limx→0f〔x〕=0且limx→0f′〔x〕=0. 由题设f〔x〕在x=0的某个邻域内具有二阶连续导数， 所以f〔0〕=0且f′〔0〕=0. 将f〔x〕展开成带有拉格朗日型余项的泰勒公式， 有f〔x〕=f〔0〕+f′〔0〕x+f″〔ξ〕2！·x2=12f″〔ξ〕·x2， ξ介于0与x之间. 由题设，f″〔x〕在x=0的邻域内连续. 因此，f″〔x〕在包含x=0的一个小闭区间内连续. 由闭区间上连续函数的性质，在包含x=0的一个闭区间内，M>0，使得|f″〔x〕|≤M， 所以|f〔x〕|=12f″〔ξ〕·x2≤M2·x2. 令x=1n，有f1n≤M2·1n2. p-級数∑∞n=11n2收敛，因此级数∑∞n=1M2·1n2收敛. 从而∑∞n=1f1n绝对收敛. 以上我们借助几个实例展示了泰勒公式的应用.通过例子我们发现带皮亚诺型余项的泰勒公 本文来源：https://www.dywdw.cn/67802e7af31dc281e53a580216fc700abb6852d5.html
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2023-01-28
