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带皮亚诺余项的n阶泰勒公式 由皮亚诺提出的n阶泰勒公式，可以把某复合函数的任意阶导数转换成一种通用的分步积分形式，这种分步积分就是泰勒公式，即“将多种函数表示为它们它们各种阶导数之积分的形式”，它是定积分的延伸，把有关函数的求解转化了高阶的难度，也就是说，泰勒公式让求解定积分更加容易，同时也是解决多项式拟合问题的优选方式之一。n阶泰勒公式带皮亚诺余项由假设多项式的形式：$f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+ \frac{f''(x_0)(x-x_0)^2}{2!}+\cdots +\frac{f^{(n)}(x_0)(x-x_0)^n}{n!}+\tilde R_n(x)$; 其中，$\tilde R_n(x)$是泰勒型余项：$$\tilde R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\eta)(x-x_0)^{n+1}}{(n+1)!}$$ 可以利用泰勒增量函数提高求解效率，把一个多变量复杂函数等效成一维泰勒函数，把插值、拟合提升到某一水平。由于其可以以多项式的形式快速逼近复杂的函数，采用这种因子分解的方式可以高效的求解，从而大大提升求解的效率。 总的来说，皮亚诺提出的带皮亚诺余项的n阶泰勒公式是一种重要的数值分析方法，它可以用简单的步骤解决复杂的数学问题，并且有效地提高求解效率。 本文来源：https://www.dywdw.cn/4d77e06513661ed9ad51f01dc281e53a580251fd.html
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2023-03-14
