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已知三角形三边求面积的公式——海伦公式 海伦公式又译作希伦公式、海龙公式、希罗公式、海伦－秦九韶公式，传说是古代的叙拉古国王希伦（Heron,也称海龙）二世发现的公式，是一个利用三角形的三条边长直接求三角形面积的公式。下面我们利用初中的知识进行推导（注意：公式推导过程的方法比公式更为重要） 题：已知△ABC的三边为a，b，c，求△的面积S。 分析：以a为底边，欲求△ABC的面积，只需要求得BC上高。 解：不妨设BC为最大边，作△ABC的高AD（如图）。设BD=x，则DC=a-x。 由勾股定理，得 AB^2-BD^2=AD^2=AC^2-DC^2, 所以c^2-x^2=b^2-(a-x)^2, 整理，得 2ax=a^2+c^2-b^2, 所以x=( a^2+c^2-b^2)/2a， 所以AD^2= c^2-x^2 = c^2-[( a^2+c^2-b^2)/2a]^2， =1/(4a^2)·[4a^2c^2-( a^2+c^2-b^2)^2] =1/(4a^2)·(2ac+ a^2+c^2-b^2)(2ac- a^2-c^2+b^2) =1/(4a^2)·[(a+c)^2-b^2][b^2-(a-c)^2] =1/(4a^2)·(a+c+b)(a+c-b)(b+a-c)(b-a+c) =1/(4a^2)·(a+b+c)(b+c-a)(c+a-b)+(a+b-c)， 所以AD=1/(2a)·√[(a+b+c)(b+c-a)(c+a-b)+(a+b-c)]， 所以S=1/2·a·1/(2a)·√[(a+b+c)(b+c-a)(c+a-b)+(a+b-c)] =1/4·√[(a+b+c)(b+c-a)(c+a-b)+(a+b-c)]， 令(a+b+c)/2=p（这里的p称为三角形半周长），则 a+b+c=2p， b+c-a=a+b+c-2a=2(p-a)， c+a-b=a+b+c-2b=2(p-b)， a+b-c=a+b+c-2c=2(p-c)， 所以S=1/4·√[2p·2(p-a)·2(p-b)·2(p-c)] =√[p(p-a)(p-b)(p-c)]. 这就是海伦公式，在我国又称为秦九韶海伦公式。公式虽然有点复杂，但和谐好记。 这个公式在实际问题中得到广泛的运用，深受民间百姓的喜爱。有了这个公式，只要将三角形三边的长一代，马上就可以算出它的面积来。由于在测量三角形土地面积时测量三边的长是最容易的，又不会存在大的争议（如果测量一边上的高往往争议不断），所以这个公式才深得人们的喜欢而广为流传。 本文来源：https://www.dywdw.cn/6b569a69677d27284b73f242336c1eb91b37334c.html
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2023-05-07
