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例说平方差公式、完全平方公式的结构特征 师：同学们，我们已经学习了如下两个乘法公式： 平方差公式：（a＋b）（a－b）＝a2－b2 完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2 你能说出它们的结构特征吗？ 快嘴朱春明没举手就迅速站起来说：“平方差公式的左边是两个数的和乘以这两个数的差，右边是这两个数的平方差。” 小百灵陈海田也不甘示弱，道：“完全平方公式的结构特征是左边是两个数的和（或差）的平方，右边是这两个数的平方和加上（或减去）这两个数乘积的2倍。” 小眼镜于政慢条斯理地接着说：“左边都是二项式乘以二项式，右边只是一个多项式。” 细心的许洪秀象发现新大陆一样，激动地说：“这两个公式，从左向右看，属于整式的乘法运算，从右向左看，属于因式分解。” 平时在符号上常出错的牛川同学说：“平方差公式中的两个平方项是异号，一正一负；而完全平方公式中的两个平方项是同号，都为正，乘积项的符号取决于原来两个数a、±b的符号，同号得正，异号得负。” 师：同学们的发现都是对的。你有胆量运用乘法公式解决下列问题吗？ 例1、计算：(1) (2m－3n)( 2m＋3n); (2) (－3＋2a)(―3―2a); (3) (－5＋2x)(－2x－5). 韩金轩同学分析道：“这三小题都可以用平方差公式进行计算，关键是要正确确定公式中的两个数分别是什么，它们分别是2m与3n、－3与2a、－5与2x，结果等于它们的平方差。”于是，解题过程如下： 解：（1）原式＝（2m）2－（3n）2＝4m2－9n2; （2）原式＝（－3）2－（2a）2＝9－4a2; （3）原式＝（－5）2－（2x）2＝25－4x2. 例2、计算：（1） (－34m＋43n)2; （2） (－2a2－7b)2. 不太善于表达的陈博同学在较短时间内，把自己的解法呈现给大家： 解：（1）方法一：原式＝（－＝9164334m）2＋2×（－16934m）×43n＋（43n）2 m2－2mn＋n－4334 n2 34方法二：原式＝(m)2 （把－43916m、4334n互换位置） m）2 ＝（＝169n）2－2×n×34m＋（ n2－2mn＋22 m2 22（2）方法一：原式＝（－2a）－2×（－2a）×7b＋(7b) 1 ＝4a4＋28 a2b＋49 b2 方法二：原式＝［－（2a2＋7b)］2＝（2a2＋7b)2 ＝（2a2）2＋2×2a2×7b＋(7b)2 ＝4a4＋28 a2b＋49 b2 例3、计算：（a＋b－c）（a－b＋c）. 善于变通的任加林同学，沉默了一会儿，说：“这是三项式乘以三项式，第一项相同（都是a），第二、三项＋b－c、－b＋c互为相反数，根据整体思想，可以写成＋（b－c）、－（b－c），这样就符合平方差公式。”于是，解题过程如下： 解：原式＝［a＋（b－c）］［a－（b－c）］ ＝a2 －（b－c）2 ＝a2－（b2－2bc＋c2） ＝a2－b2＋2bc－c2 例4、你能用乘法公式计算(a＋9)(a＋1)吗？ 爱动脑筋的祁金龙同学，一会儿皱着眉头，一会儿动手疾书，终于想出了办法：“根据平方差公式，因为（a＋b）＋（a－b）＝2a、（a＋b）－（a－b）＝2b，所以(a＋9)＋(a＋1)＝2a＋10＝2（a＋5）、(a＋9)－(a＋1)＝8＝2×4，于是(a＋9)(a＋1)转化为［(a＋5)＋4］［(a＋5)－4］，利用平方差公式进行计算。”于是，解法如下： 解：原式＝［(a＋5)＋4］［(a＋5)－4］＝(a＋5)2－42＝a2＋10a＋25－16＝a2＋10a＋9. 例5、因式分解：（1）1－16a2 ;（2）49（a－b）2－16（a＋b）2. 解云云同学说：“这两小题都是平方差的形式，即1－（4a）、［7（a－b）］（a＋b）］，所以都可以用平方差公式进行分解因式。” 解：（1）原式＝12－（4a）2＝（1＋4a）（1－4a）； （2）原式＝［7（a－b）］2－［4（a＋b）］2 ＝［7（a－b）＋4（a＋b）］［7（a－b）－4（a＋b）］ ＝（11a－3b）（3a－11b） 例6、因式分解：（1）x2＋x＋解：（1）原式＝x2＋2×x×12142222－［4；（2）a2－2a(b＋c)＋(b＋c)2. 12＋（2）2＝（x＋212）2； （2）原式＝［a－(b＋c）］＝(a－b＋c). 2 评析：本题都是三项式，要验证是否符合完全平方公式，即确定平方项与乘积项，看两个平方项是否同号，乘积项是否是两个平方项底数乘积的2倍。 例7、因式分解：x4 y4－8x2 y2＋16. 解：原式＝（x2y2）2－2×x2y2×4＋42 ＝（x2y2－4）2 ＝［（xy＋2）（xy－2）］2 ＝（xy＋2）2（xy－2）2 注意：因式分解一定要分解到不能再分解为止。 师：同学们的表现很优秀，老师为有你们这样的学生而感到自豪！下面我们一起来走进09中考试题，感悟一下中考的氛围吧。 1、把x3－2x2y＋xy2分解因式，结果正确的是（ ）（2009年北京市中考题） A. x（x＋y）（x－y） B. x(x2－2xy＋xy2) C. x（x＋y）2 D. x（x－y）2 2、在实数范围内因式分解x4－4＝ （2009年杭州市中考题） 3、因式分解：（x＋y）2－3（x＋y）＝ （2009年嘉兴市中考题） 4、分解因式：2x3－8x＝ （2009年广东省中考题） 5、分解因式：27x2＋18x＋3＝ （2009年潍坊市中考题） 6、分解因式：ax2－a＝ （2009年济宁市中考题） 7、因式分解：a2－b2－2b－1＝ （2009年安徽省中考题） 8、 先化简，再求值： （1）（3＋m）（3－m）＋m(m－6)－7,其中m＝12.（2009年温州市中考题）； 13（2）（a＋b）（a－b）＋（a＋b）2－2 a2，其中a＝3，b＝－ .（2009年长沙市中考题） 3 本文来源：https://www.dywdw.cn/6e160e5ef76527d3240c844769eae009591ba274.html
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2022-04-18
