中垂线(角平分线)与等腰三角形联手巧解题

2023-01-24 11:05:19 第一文档网 [ 字体：小中大 ] [

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中垂（角平分）线与等腰三角形联手巧解题

角平分线与等腰三角形有着密不可分联系．在许多几何问题中，遇到等腰三角形就会想到顶角的平分线，遇到角平分线又会想到构造等腰三角形．为了能说明这个问题，下面归类说明．

一、角平分线与等腰三角形

例1、如图1，在△ABC中，∠BAC，∠BCA的平分线相交于点O，过点O作DE∥AC，分别交AB，BC于点D，E．试猜想线段AD，CE，DE的数量关系，并说明你的猜想理由．

分析：当一个三角形中出现角平分线和平行线时，我们就可以寻找到等腰三角形．由于OA，OC分别是∠BAC，∠BCA的平分线，DE∥AC，可得△ADO和△CEO均是等腰三角形，则DO＝DA，EC＝EO，故AD+CE＝DE。

解：AD+CE＝DE．理由如下：OA，OC分别是∠BAC，∠BCA的平分线，所以∠OAC=∠DAO，∠OCA=∠OCE，因为DE∥AC，所以∠DOA=∠OAC，

∠EOC=∠OCA，所以∠DOA=∠DAO，∠EOC=∠OCE，所以DO＝DA，EC＝EO，故AD+CE＝DO+EO=DE。．

例2、如图2，△ABC中，AB＝AC，在AC上取点P，过点P作EF⊥BC，交BA的延长线于点E，垂足为点F．说明：AE＝AP．

分析：要说明AE＝AP，可寻找一条角平分线与EF平行，于是想到AB＝AC，则可以作AD平分∠BAC，所以AD⊥BC，而EF⊥BC，所以AD∥EF，所以可

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得到△AEP是等腰三角形，故AE＝AP．

解：作AD平分∠BAC，则∠BAD=∠CAD，因为AB=AC，所以AD⊥BC，而EF⊥BC，所以∠ADC=∠EFC=90°，所以AD∥EF，所以∠BAD=∠E，

∠CAD=∠APE，所以∠E=∠APE，所以AE=AP。

二、中垂线与等腰三角形

例3、如图3，在Rt△ABC中，C90，DE是AB的垂直平分线，交BC于D，E是垂足，∠CA D∶∠CAB＝1∶3 ，求∠B的度数．

分析：由DE是AB的垂直平分线，得DA＝DB，从而DABB，从而找到CAB与B的关系，再根据三角形内角和定理可求．解：因为DE垂直平分AB，所以DA＝DB，所以DABB. 设CADx，所以CAB3x，所以BDAB2x．因为CADDABB90，所以x2x2x90．解得x18，所以B2x36．

例4 、如图4，在△ABC中，已知AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，且∠BAC=115º，∠EAF的度数．

分析：要求∠EAF的度数，可采用整体思想，结合条件“垂直平分线”得“线段相等”，进一步可得∠B=∠EAB，∠C=∠FAC，而∠B+∠C=180º-∠BAC=65º，从而可求得∠EAF的度数．

解：因为EM、FD分别是AB、AC的垂直平分线，所以EB=EA，FC=FA．所以∠B=∠EAB，∠C=∠FAC．

因为∠B+∠EAB+∠C+∠FAC+∠EAF=180º，所以∠EAF=180º-2（∠B+∠C），

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