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对数函数单调性的应用 形如y＝logax(a＞0且a≠1)的函数叫做对数函数，其中x是自变量.单调性在它性质中占有重要地位，它在解决相关问题中有着重要的应用. 一般地，对于函数y＝logax(a＞0且a≠1)：(1)当a＞1时，在(0,＋∞)上是增函数；(2)当0＜a＜1时，在(0,＋∞)上是减函数.这种性质称为函数的单调性. 确定单调性有两个条件：①a的范围；②定义域.在应用时务必注意定义域这一条件.现举例说明. 一、比较大小 例1(1)log23.4与log28.5；(2)log0.31.8与log0.32.7；(3)loga5.1与loga5.9；(4)log67与log76；(5)log3与log20.8. 解析：(1)y＝log2x在(0,＋∞)上是增函数，∵3.4＜8.5，∴log23.4＜log28.5. (2)y＝log0.3x在(0,＋∞)上是减函数，∵1.8＜2.7，∴log0.31.8＞log0.32.7. (3)对底数a进行分类讨论，当a＞1时，函数y＝logax在(0,＋∞)上是增函数，∵5.1＜5.9，∴loga5.1＜loga5.9；当0＜a＜1时，函数y＝logax在(0,＋∞)上是减函数，∵5.1＜5.9，∴loga5.1＞loga5.9. (4)log67＞log66＝1，log76＜log77＝1，∴log67＞log76. (5)∴log3＞log31＝0，log20.8＜log21＝0，∴log3＞log20.8. 点拨：解答此类题型的关键是确定出与两个比较的数相关的对数函数模型，再利用对数函数的单调性进行求解.如果出现底数不统一，则需要统一底数或借助蹭量作桥梁进行比较. 二、求函数的定义域 例2求函数f(x)＝lg(ax﹣k·2x),(a＞0,a≠2，k为常数)的定义域. a解析：由ax－k·2x＞0()x＞k. 2a(1)若k≤0,由于a＞0，a≠2，()x＞0得x∈R，即定义域为R. 2 a(2)若k＞0，则当a＞2时，知＞1，得定义域为{x|x＞logak}； 22 a当0＜a＜2时，0＜＜1,得定义域为{x|x＜logak}. 22 点拨：此类题型主要是根据函数表达式的具体的特征，列出使函数有意义的关于x的不等式，如果不等式含有对数，则可根据对数函数的单调性进行求解. 三、求函数的值域 例3求函数y＝log1(x2－6x＋17)的值域. 2解析：∵x2－6x＋17＝(x－3)2＋8＞0恒成立，∴函数的定义域为R， 2221又x－6x＋17＝(x－3)＋8≥8，∵y＝logx是减函数，∴log1(x－6x＋17)的值域是22(－∞,－3]. 点拨：利用对数函数的单调性求解函数的值域要抓住函数的单调性复合规律：如果函数f(x)＝logau，u＝g(x)，当a＞1时，u具有最大值(或最小值)，则u也取相应最大值(或最小值)；当0＜a＜1时，u具有最大值(或最小值)，则u也取相应最小值(或最大值). 四、求以对数函数为载体的复合函数中的参数 例4已知y＝loga(2－ax)在[0,1]上是x的减函数，求a的取值范围. 解析：∵a＞0，令u＝2－ax是x的减函数， 又y＝loga(2－a)在[0,1]上是x的减函数，故y＝logau是增函数，即a＞1， 又2－ax＞0，∴a＜2，综上得1＜a＜2. 点拨：此类题型主要从两个方面入手：一是利用函数单调性的复合规律“同增异减”确定参数的范围；二是抓住真数大于零，如果根据真数所涉及函数的单调性，一般可简化运算. 五、解对数不等式 例6已知2loga(x－4)＞loga(x－2)，求x的范围. 解析：去对数符号，转化为代数不等式求解.同时注意对数函数的定义域， loga(x－4)2＞loga(x－2)原不等式等价于，注意定义域及单调性有 x－4＞0 (x－4)＞x－2(1)当a＞1时，等价于 x－4＞0，解得x＞6. x－2＞0 (x－4)2＜x－2(2)当0＜a＜1时，又等价于，解之得4＜x＜6， x－4＞02因此，当a＞1时，x＞6；当0＜a＜1时，4＜x＜6. 点拨：利用对数的单调性解对数不等式主要从两个方面考虑：一是考虑函数的真数。要求大于零；二是考虑对数的底数，主要是利用其单调性，因此要注意含有参数情况的讨论. 六、解答恒成立问题 log2x－alog4x－1例5设f(x)＝lg,其中x∈R，如果当x∈[2，＋∞)时，f(x)有意义，3求a的取值范围. log2x－alog4x－1解析：由题设得：当x∈[2，＋∞)时,＞0…①恒成立，变形得：a＜－31＋2, log4x要使①式恒成立，对x∈[2，＋∞)，a≤－1∵－＋2在[2，＋∞)是增函数， log4x∴当x＝2时，取得最大值0，∴a≤0,∴a的取值范围是a≤0. 点拨：此类题型根据题目要求建立一个含有对数恒成立的不等式，利用对数的单调性，结合恒成立的条件即可求解. 1＋2的最大值, log4x 本文来源：https://www.dywdw.cn/7a7dd8dcd35abe23482fb4daa58da0116d171f50.html
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2022-04-23
