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从数学真理观的变化看真理的相对性与绝对性 数学真理作为数学认识论的核心问题，既是关于数学知识真实性、客观性、可靠性、可信性的一个重要指标，也是衡量人类科学发展水平的一个基本尺度。文艺复兴以来，随着近代数学的诞生，人们对数学真理的理解达到了新的高度，逐步形成了现代性的数学认识，其主要标志就是以形而上学和柏拉图主义为基调的绝对主义和基础主义的真理观。随着后现代思潮的崛起，现代性的科学观念受到强烈的冲击。在后现代哲学的语境中，人类以往创造的所有知识的合法性都受到了质疑。后现代主义者解构现代性的气势不仅有些咄咄逼人，而且其对现代性的批判的确也不乏深刻性和合理性。当后现代主义对普遍真理、宏大叙事、逻各斯中心主义、本体论和本质主义提出质疑并予以解构之后，作为现代性和科学真理的一个典范——数学，将如何应对后现代的挑战并对其真理性重新定位？这是一个十分重要的科学认识论问题。可以看到,数学并不具有终极的、绝对的、中心化的、惟一不变的认识论基础，数学的真理性具有鲜明的社会、历史和文化特征。 一、数学真理从惟一性、终极性向多样性、谱系性的转向 现代性的数学真理观念源自于古希腊毕达哥拉斯—柏拉图主义的数学传统，到17、18世纪，其基本思想趋于成熟。从柏拉图到康德，整个西方数学的文化精神都是以毕达哥拉斯—柏拉图主义的数学传统为基准的。其基本特点是对数学真理的惟一性、终极性、绝对性、整体性、永恒性的信仰。康德虽然把纯粹直观作为数学知识判断的一个要素，但这种直观却是先天的。在康德看来，数学是先天的综合判断，是形而上学的典范。这种现代性的数学哲学观作为西方理性主义的一个重要源泉，对西方科学主义思想以及后来的逻辑实证主义科学哲学思潮的形成都具有深刻的影响。 19世纪以来，数学的知识进步发生了持续、内在的变革。作为这一变革的一个重要的认识论突破，开始出现一系列解构现代性数学观念的思想萌芽。首先是非欧几何的诞生和代数学的抽象化。非欧几何的诞生，是数学观从现代性向后现代性转向的一个重要标志。非欧几何瓦解了长期以来人们对数学公理“不证自明”和免予质疑的认识定位。数学公理的选择是一种基于认识必然性规律之上的合乎推理程式的理性与历史的共同抉择。这种抉择不再是惟一确定的而是多样变化的，不再是绝对意义上的而是有了相对的意义。非欧几何所揭示出的新的数学真理品质表明，数学真理并不是像康德所假设的那样，是一种先验的直觉和综合判断。 然而，尽管非欧几何的产生初步改变了人们对数学真理具有惟一性的信念，并初步揭示出现代性数学真理观的内在认识论缺陷，但随着非欧几何的相容性问题的解决，在当时的大多数数学家心中，存在着一个绝对的、终极的和完全确定的数学基础仍是不言而喻的。集合论诞生后，一度被视为建立终极性数学基础的法宝。但随着康托悖论、罗素悖论等一系列数学与逻辑学悖论的不期而至，数学出现了前所未有的基础危机。面对危机，数学界和数理逻辑界的领袖人物雄心勃勃地提出了各自宏伟的数学奠基工程计划。无论是以罗素、怀特海为代表的逻辑主义，还是以希尔伯特为开创者的形式主义，都企图在完全逻辑化、充分形式化和彻底公理化的基础上重新构筑数学真理，以扶正并稳固已经倾斜的整个经典理性主义大厦。逻辑主义和形式主义都相信，数学知识是由无可非议、绝对确定、绝对可靠的为数不多的逻辑的或数学的概念、公理经过严格的逻辑或数学方法推演出来的。他们确信，所有的数学定理都可以从这种完美无缺、固定不变的基础中得到，因而所有的数学真理便可以通过奠定一劳永逸和完全可靠的数学基础而获得。 与逻辑主义、形式主义和逻辑实证主义建立普遍的、总体性的数学的意愿相反，20世纪30年代初，奥地利年轻的数理逻辑专家哥德尔发表了在数学、数理逻辑乃至整个科学界都具有划时代意义的不完全性定理。哥德尔研究形式公理化体系相容性问题的本意是为了证明希尔伯特纲领，即完成对包括算术系统在内的形式化体系的相容性证明，但最终得到的结果却完全出乎人们的意料。哥德尔定理表明，在任一形式体系中都有不可判定命题存在。由于任一形式体系都无法在自身范围内完成自我解释和说明，所以逻辑主义和形式主义的基于逻辑化、形式化、封闭性和完备性的数学基础主义计划就是无法实现的。数学命题的正确性不仅要受到数学概念是如何界定的、数学公理是如何选择的、数学的论证方式是如何取舍的等多种因素的影响和制约，而且有时候在体系内还是不可判定的。数学的定理不是从毋庸置疑的、绝对无误的前提下，通过绝对可靠的推理规则得到的不容怀疑的绝对真理。数学命题的正确性不仅依赖于可能变换或更替的前提和假设，而且依赖于推理规则的选择和限定。换句话说，数学并没有形而上学意义上的严格性。数学命题、理论的真理性就取决于数学共同体搭建的理论平台和数学语境，因此，数学知识就被赋予了强烈的社会文化性。 从19世纪中叶非欧几何的诞生到20世纪初哥德尔定理的产生这一段历史时期，数学的知识演变逐步解构了以完美性、永恒性和确定性为标志的绝对主义数学真理观。从更深刻的历史背景来看，基础主义数学真理观的危机从根本上表明了现代性意义上的西方理性主义和科学主义已经走到了绝境。逻辑主义和形式主义的一个致命的认识论错误就在于，欲把数学置于机械的、僵化的、教条的、终极的法则和规则之下，把一切已有的或尚未发现的数学思想、理论、方法都归结和还原到固定的、惟一的、不变的、静止的基础主义数学教条上去，其结果只能是扼杀数学的创造性和生命力。实际上，数学研究应该从一举实现关于真理话语的永恒的、终极的、整体的宏大目标转向对局部的、有限的、形成性的和阶段性的目标追求。数学在刻画世界图式、探索宇宙奥秘的同时，更要关注现实问题，如当代科学前沿进展、人工智能与数字化、经济增长与技术进步、由信息、通讯技术所营造的新的社会秩序、新的文化范式等。只有充分地关注并体现时代命题，数学真理才能获得新的意义。 19世纪后半叶以来的这种有限的、局部的、相对的、富有时代特征的追求真理的态度，显示出数学真理越来越深刻的人类学和谱系学特征。当代数学研究越来越重视从数学的边缘化的、细节的、局部的、奇异的和非常态的部分开拓新的领域。数学家开始越来越多地接受一个没有固定基础的数学体系，承认数学中存在着不可判定命题，对悖论从绝对排斥到相对容忍。还有许多数学难题，如连续统假设、公理集合论的相容性证明等，也一直未获解决。因此，在数学认识活动中，必须放弃那种一蹴而就地达到绝对真理殿堂的奢望，把追求数学真理的过程与目标同人的认识过程相一致，通过实现分解了的、局部的、系列的子目标而逐步迈向整体目标。概括起来看，这一转向的基本特征是，数学真理从追求一劳永逸的终极性目标和拥有一成不变的、形而上学的、绝对永恒的知识体系及其价值，转化为追求分解了的、可实现的子目标和按逻辑程式、知识法则和思维方法所设置的各种可能的、多样化、具有谱系学特征的理论框架。 二、数学真理是具有不同层级的、开放的、动态的理论体系 现代性数学真理观的一个基本特征就是对数学理论体系的封闭的、连续的、线性的、简单统一性的认识定位。然而在19世纪以来的数学演变过程中，数学知识结构和理论体系的基础性、封闭性和简单统一性被打破，逐步被更为宽泛多样的、离散的、非线性的、网状结构的、不断变革的和开放的新的数学知识、理论和方法所取代。数学理论的多样化、开放性和知识建构特征不仅使数学知识结构呈现出了层次性，而且赋予了数学真理以更加丰富的内涵。数学真理不仅包括那些由基本的、原始的定义和公理所必然蕴含的重言式，而且也开始接纳和包容那些具有不同程度真理性的命题、判断、猜想、假设和方法。从其确切性相对较高的中心内核到确切性逐渐减弱的外层，数学真理逐渐形成了一个不断生长的动态体系。 本文来源：https://www.dywdw.cn/7afeb73d580216fc700afd82.html
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2023-02-28
