2013济南大学硕士研究生入学考试专业试题(高等代数)

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.

一、（30分）（1）设数域

，若f1(x),f2(x),g1(x),g2(x)[x]，且fi(x).gj(x)1(i,j1,2)，证明



(f1(x)g1(x),f2(x)g2(x))=f1(x),f2(x)g1(x),g2(x)f1(x)g2(x),f2(x)g1(x)

（2）设f(x)x36x23px8，试确定p的值使f(x)有重根，并求其根. （3）设f(x)xax2xbx2. 若f(x)被(x1)整除，求a,b.

4

3

2

2

xaaa

x

aaa. x

ax

二、（10分）计算行列式Dnaa

aaa

三、（10分）a,b取什么值时,线性方程组

x1x2x3x4x51

3x2xxx3xa12345



x2x2x6x334525x14x23x33x4x5b

有解？在有解的情形求一般解.

四、（10分）设向量组A:1,2,向量组B等价.

五、（15分）设A 是实数域上的n阶对称阵且AA，并且秩(A)r，(1rn).

（1）求证：A是半正定的；（2）计算行列式EAA2

2

,s可以由向量组B:1,2,,t线性表示且秩A秩B . 证明向量组A与

An.

A

nn六、（20）设A为阶正定矩阵，为维实列向量，为实数, '为的转置，证明： 为正定矩

'

阵的充要条件是

'A1.

上x 的次数小于n的全体多项式构成的线性空间，定义V上的线性变换，使

七、（20分）设V是数域

1

其中f'(x)表示f(x)的导数，求的核与值域，并证明线性空间V(0)V. f(x)xf'(x)f(x)，

八、（15分）设A,B为正定矩阵，证明：AB为正定矩阵的充要条件ABBA. 九、（20分）设V是欧氏空间，W1与W2是V上的两个子空间，试证：



（I）若W1W2，则W2W1；

（II）当V是有限维时，若W1是Ａ—子空间，则W1是Ａ—子空间，其中Ａ是V上的任一正交变换.



'.

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