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平行线分线段成比例 知识要点： 1、 平行线分线段成比例定理 2、 平行于三角形一边的直线的判定和性质（“A”、“X”型） 主要的基本图形 AAFEDEDECF平移至过点A BDCF平移至过点D AC B （图1） 平行线分线段成比例 （图2） 图1、2中，有定理：平行于三角形一边的直线截其他两边或延长线，所得的对应线段成比例。（可看作性质1）及其的逆定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。（可看作判定） 以及定理：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线所截得的三角形与原三角形的三边对应成比例。（可看作性质2 ） 对“A”、“X”型的特征分析：A点是两相交直线的交点，D、E和B、C是两平行线和相交直线的交点，（共5点），其中作比的三点在一条直线上（AD：AB=AE：AC中，A、D、B在一条直线上，A、E、C在一条直线上。）在作辅助线的时候我们可以观察这些特征。而可以作比的六个点中如果有两个点是同一个点，那么过这个点作平行线往往可以一举多得。 注意点：（1）平行线分线段成比例没有逆定理 A （2）判断平行线的条件中，只能是被截的两条直线的对应线段成比例（被判断的平行线本身不能参与作比例） FED （3）有些时候我们也要注意图3，DE//BC，则DF：FE=BG：GC CGB （4）由于平行线分线段成比例定理中，平行线本身没有参与作比例，因此，有关平行线段的计算问题通常转化到“A”、“X”型中。 B典型例题分析： A例1：如图，在梯形ABCD中，AB//CD，AB=a.CD=b,E在AD上且AE：EFED=m:n，EF//AB交BC于点F，求EF的长。 分析：由于要计算的EF是平行线段，所以不能直接计算，应该把它放在DC“A”型或“X”型中，所以要构造基本图形。可以有以下几种方法。 例2：在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且AD：DB=3：2，AE：EC=1：2，直线ED和CB的延长线交于点F，求（1）FB：FC （2）FD：FE BCCAED 分析：根据我们前面对基本图形的分析，找到五个点，AD：DB=3：2，三点A、D、B在同一直线上，而AE：EC=1：2，三点A、E、C在同一直线上，但他们有公共点A，所以可以过点A构造“A”或“X”型，可以过点A，作EF的平行线，交CB的延长线于点G，或构造“X”型，过点A作BC的平行线交FE的延长线于点G，这两种辅助线的做法都可以。同样也可以根据结论中的比来找公共点。如：要求FB：FC和AD：DB有公共点B，可以FBC过B点来构造基本图形，过点B作BG//AC，交EF于点G，或过点B，作BG//EF交AC于点G，等等还有其他的做法。 改3：如上图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且DF：EF=AC：AB，求证：BD=CE。 A例3：如图，AD为△ABC的中线，在AB上取点E，AC上取点F，使AE=AF，求证：EP：FP=AC：AB EP分析：在这道题目中所有的比进行组合都没有出现前面的情况，可以考F虑把比进行平移，利用上面的基本图形，过点C作CM//EF，交AB于CD点M，交AD于点N，则有C点为公共点，可以考虑上面的做法。具体B解法略。而对于这里面有一个线段的中点，所以也可以考虑作中心对称图形。作BM//EF，交AD的延长线于点M，作CN//EF，交AD于点N，证明过程略。另外还有几种不同的添线的方法。 本文来源：https://www.dywdw.cn/83d63f42b5daa58da0116c175f0e7cd185251833.html
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2023-04-08
