2019年导数的定义和几何意义(一).doc

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导数的定义和集合意义（导数辅导一）

一、定义的理解 1．f(x0)lim

/

x0

f(x0x)f(x0)

叫函数yf(x)在xx0处的导数，记作y/|xx0 。

x

注：①函数应在点x0的附近有定义，否则导数不存在。②在定义导数的极限式中，x趋近于0可正、可负、但不为0，而y可能为0。③

y

是函数yf(x)对自变量x在x范x

围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线yf(x)上点（x0，f(x0)）及点（x0+x，

f(x0x0)）的割线斜率。④导数f/(x0)lim

x0

f(x0x)f(x0)

是函数yf(x)在

x

点x0的处瞬时变化率，它反映的函数yf(x)在x0点处变化的快慢程度，它的几何意义是曲线yf(x)上点（x0，f(x0)）处的切线的斜率。

2. 函数f(x)在xx0处的导数f'(x0)的几何意义：曲线C:yf(x)在其上点P(x0，

y0)处的切线的斜率。

注：①用导数研究切线问题，切点是关键（切点在切线上、切点在曲线上、切点横坐标的导函数值为切线斜率）。②注意区分“求曲线yf(x)上过点M的切线”与“求曲线yf(x)上在点M处的切线”；前者只要求切线过M点，M点未必是切点；而后者则很明确，切点就是M点。

3. （1）几种常见的函数导数：①、c （c为常数）； ②、(x

n

) （nR）；

(sinx)= ；(cosx) = ；③、④、 ⑤、(a

⑦、(loga

x

⑥、 (ex) ；) ；

x) ； ⑧、(lnx) .

u

v

uvuv

v2

（2）求导数的四则运算法则：(uv)uv；(uv)uvuv；()

4. 复合函数的求导法则： fx((x))f(u)(x) 或 yxyuux 二、典例选讲：（1）定义的应用 1、若f/(x0)2，则lim

k0



f(x0k)f(x0)

等于： (A) -1 (B) -2 (C) 1 (D) 1/2

2k

1

解析：∵f/(x0)2，即lim

k0

f[x0(k)]f(x0)f(x0k)f(x0)

=2lim=-1。

k0k2k

x0

2、设函数f(x)在任何处可求导且lim

A．0

B．

f(x02x)f(x0)

2,则f(x0) ( )

x

C． 1

D． 2

1 2

3、设C是成本，q是产量，成本与产量的函数关系式为C＝C（q），当产量为q0时，产量变化q对成本的影响可用增量比

CC(q0q)C(q0)

刻划. 如果q无限趋近于0

qq

时，

C

无限趋近于常数A，经济学上称A为边际成本. 它表明当产量为q0时，增加单位q

产量需付出成本A（这是实际付出成本的一个近似值）。设生产x个单位产品的总成本函数

x2是C(x)＝8＋，则生产8个单位产品时，边际成本是：（）

8

A．2 B．8 C．10 D．16

练习：若f(1)2012，则lim

f(1x)f(1)f(1x)f(1)

= ，lim= ，

x0x0xx

f(1)f(1x)f(12x)f(1)lim= ， lim= 。 x0x04xx

/

（2）导数的几何意义 1）关于倾斜角

1251

x在点(1,)处切线的倾斜角为（）A．1B．C． D． 24244

23

2、点P是曲线yxx上的动点，设点P处切线的倾斜角为，则的取值范围是

3

1、曲线yA、0,

333

B、 C、 D、0,,,, 242424

2

3、设P为曲线C：yx2x3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为



[0,]，则点P横坐标的取值范围为（） 4

A．1，

2



1

B．10， C．01，

D．，1

1

2

练习：①曲线y=

x

-tanx在点（，y0)处的切线的倾斜角为 36

2

②设函数f(x)g(x)x，曲线yg(x)在点(1,g(1))处的切线方程为y2x1，则曲

2

线yf(x)在点(1,f(1))处切线的斜率为( )A．4B．③已知点P在曲线y=

11 C．2 D． 42

4

上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是 x

e1

33

] D、[,) A、[0,) B、[,) C、(,

422444

2）关于切线（方程或方程组的思想）

1、①已知曲线yx22x2在点M处的切线与x轴平行，则点M的坐标是（）

A．(1,3) B．(1,3) C．(2,3) D．(2,3)

1x2

3lnx的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（） ②已知曲线y

24

A． 2

B． 3

C．

1 2

D．1

2、①曲线yx3x与直线y2xb相切，则实数b____________． ②已知直线xy10与抛物线yax2相切，则a______.

③已知直线y =x＋1与曲线yln(xa)相切，则α的值为( )

A.1 B. 2 C.－1 D.－2 ④若曲线

⑤已知函数f(x)ln(x1)ax

fxax2Inx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是 .

1a

，若曲线yf(x)在点(1,f(1))处的切线与直线x1

l:y2x1平行，则 a的值

类型一：已知切点，求曲线的切线方程

此类题较为简单，只须求出曲线的导数f(x)，并代入点斜式方程即可．方法：，1)处的切线方程为（）Ａ．y3x4 例1 曲线yx33x21在点(1

Ｂ．y3x2 Ｃ．y4x3 Ｄ．y4x5

2

，1)处斜率kf(1)3，故所求的切线方程为6x解：由f(x)3x则在点(1

y(1)3x(1)y3x2，因而选Ｂ．，即

类型二：已知斜率，求曲线的切线方程

此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决．方法：

例2 与直线2xy40的平行的抛物线yx2的切线方程是（）Ａ．2xy30

Ｂ．2xy30 Ｃ．2xy10

3

Ｄ．2xy10

解：设P(x0，y0)为切点，则切点的斜率为y|xx02x02．∴x01．，．故切线方程为y12(x1)，即2xy10，故选Ｄ．由此得到切点(11)

评注：此题所给的曲线是抛物线，故也可利用法加以解决，即设切线方程为y2xb，代入yx2，得x22xb0，又因为0，得b1，故选Ｄ．类型三：已知过曲线上一点，求切线方程

过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法．，1)的切线方程．例3 求过曲线yx32x上的点(1

解：设想P(x0，y0)为切点，则切线的斜率为y|xx03x022．∴切线方程为

2

，1)，把它代．)y(x032x0)(3x022)(xx0)．又知切线过点(1yy2)(x0x0(3x0

入上述方程，得1(x032x0)(3x022)(1x0)．

解得x01，或x0

1

．故所求切线方程为y(12)(32)(x1)，或2

113

y12x，即xy20，或5x4y10．

284

，1)为切点，实际上是经过了点(1，1)且以评注：可以发现直线5x4y10并不以(1

17

，为切点的直线．这说明过曲线上一点的切线，该点未必是切点，解决此类问题可用28

待定切点法．

类型四：已知过曲线外一点，求切线方程

此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解．

1

0)且与曲线y相切的直线方程．例4 求过点(2，

x

11

解：设P(x0，y0)为切点，则切线的斜率为y|xx02．∴切线方程为yy02(xx0)，

x0x0即y

1111

2(xx0)．又已知切线过点(2，0)，把它代入上述方程，得2(2x0)． x0x0x0x0

1

1，即xy20． x0

，y0解得x01

0)实际上是曲线外的一点，但在解答过程中却无需判断它的确切位置，充评注：点(2，

分反映出待定切点法的高效性．

16)作曲线yf(x)的切线，求此切线方程．变式已知函数yx33x，过点A(0，

16)不在曲线上．解：曲线方程为yx33x，点A(0，

设切点为M(x0，y0)，则点M的坐标满足y0x033x0．因f(x0)3(x021)，

4

故切线的方程为yy03(x021)(xx0)．

16)在切线上，则有16(x033x0)3(x021)(0x0)．点A(0，

化简得x038，解得x02．

2)，切线方程为9xy160．所以，切点为M(2，

评注：此类题的解题思路是，先判断点A是否在曲线上，若点A在曲线上，化为类型一或类型三；若点A不在曲线上，应先设出切点并求出切点．

2004年江苏第二次模拟试卷（常州卷）卷11：过点P作曲线y=x3的两条切线L1与L2,设L1，L2的夹角为，则tan= ( )

解：由y=x3得y/=3x2设Q（x0,x03）为切点，

则在Q点处的切线的方程为L：y－x0=3x02(x－x0)

∵PL，∴1－x0=3x02(1－x0) ∴（1－x0）（2x0+1）=0 ∴ x0 =1或x0=－

3

2

3

13//

∴k= y│x0=1=3 ∴k= y│1=

x242

∴tan=

k1k21k1k2

=

9

13

3

2

（2004年江苏省第一次模拟试卷）第16题：若直线y=x是曲线yx3xax的切线，求a的值

解：设切点P（x0,y0)则

y/

xx0

3x06x091 ①

②

2

2

x0y0

3

y0x03x0ax0 ③

由①②③得a1或3、①曲线y

13

4

x

在点(1,1)处的切线方程为____________________． 2x1

2

②已知f(x)2x1．

（1）求f(x)在点(1,1)处的切线方程；（2）求过点(1,0)的切线方程．

③求函数y=x3-3x2+x的图象上过原点的切线方程

解析：易见O（0，0）在函数y=x3-3x2+x的图象上，y’=3x2－6x+1,但O点未必是切点。设切点A（x0,y0）∵y’=3x2－6x+1, ∴切线斜率为3x02－6x0+1,又切线过原点，∴

5

kAO

y0

=3x02－6x0+1即：y0=3x03－6x02+x0 ① x0

3

，∴切线方程为：y=x或5x+4y=0 2

又∵切点A（x0,y0）y=x3-3x2+x的图象上∴y0=x03－3x02+x0 ② 由①②得：x0 =0或x0 =

④曲线yx32x24x2上过点(1，3)的切线方程是．

⑤已知函数f(x)在R上满足f(x)2f(2x)x28x8，则曲线yf(x)在(1,f(1)) 处的切线方程是( )A.y2x1 B.yx C.y3x2 D.y2x3

（3）面积

1、曲线yex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）

92

Ａ．e

4

2、曲线y

Ｂ．2e

2

Ｃ．e

2

e2

Ｄ．

2

134

xx在点1，处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（） 33

B．

A．

1 92 9

12

C．

1

3

D．

2 3

1

练习：①若曲线yx在点a,a2处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则



a

A、64 B、32 C、16 D、8

②曲线ye在点(4，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）

Ａ．

1

x2

92e 2

Ｂ．4e

2

Ｃ．2e

2

Ｄ．e （07高考海南理10）

2

（4）对导数符号的理解： 1、若函数f(x)满足，f(x)

13

xf(1)x2x,则f(1)的值 3

/

2、已知f(x)x1ln2x2alnx(x0)．令F(x)xf(x)，则F(x)= 。

3、已知函数f(x)x32f/(1)x,则f/(1) 4、若f(x)ax4bx2c满足f(1)2则f(1)（）

A．4

B．2 C．2

6

D．4

（5）导数四则运算

1、①yx(x2②y(x1)(③yxsin

11

3) xx

1x

1)

xxcos 22

x2

④y

sinx

⑤（1）f(x)12x2；（2）f(x)ex

2224x(x1)4x

2、函数y2x的导数是（）A．y4x(x1)4x B．y 22222

x1(x1)(x1)

2

2x3

；（3）yln

1x

， 1x1． 1x

23

232

C．y4x(x1)4x D．y4x(x1)4x

(x21)2

(x21)2

3、下列求导运算正确的是（）A．(x+)1

C．(3x)′=3xlog3e

1x

11 B．(log 2x)′=2

xln2x

D．(x2cosx)′=－2xsinx

7

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