高中数学选择性必修1 知识点

2024-01-27 22:38:11 第一文档网 [ 字体：小中大 ] [

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高中数学选择性必修1知识点

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1. 设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则AB＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 (1)平行关系：当b≠0时，a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)； (2)垂直关系：a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0.

x1y1z1

注意：设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，若a∥b，则＝＝成立的条件是x2y2z2≠0.

x2y2z22．空间两点间的距离公式：设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，则

—→

P1P2＝|P1P2|＝x2－x12＋y2－y12＋z2－z12.

3．空间向量的夹角公式：设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则

a1b1＋a2b2＋a3b3a·b

cos〈a，b〉＝＝22222.

|a||b|a1＋a1＋a1b1＋b2＋b23

→→→→

4. 对空间任意一点O，空间一点P位于平面ABC内存在实数x，y，使OP＝OA＋xAB＋yAC.我们把这个式子称为空间平面ABC的向量表示式．

爪型定理：对空间任意一点O，则OPxOAyOBxy1P、A、B三点共线. 对空间任意一点O，则OPxOAyOBzOCxyz1P、A、B、C四点共面.

5.①设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得u1＝λu2；l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0. ②设u是直线 l 的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔u⊥n⇔u·n＝0；l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R，使得 u＝λn.

③设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2；α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0.

→→

6. 已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设AP＝a，则向量AP在直线l上的投→

影向量AQ＝(a·u)u.在Rt△APQ中，由勾股定理，得PQ＝

→→

|AP|2－|AQ|2＝a2－a·u2.

PAAB

常用：点P到直线AB的距离为dPA.

AB

2

2

7. 已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点．过点P作平面α的垂线l，交平面α于点→|AP·n|

Q，则点P到平面α的距离PQ＝.

|n|

u·v|u·v|

8. 若异面直线 l1，l2 所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cos θ＝|cos〈u，v〉|＝|u||v|＝|u||v|. 9. 设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则

u·n|u·n|

sin θ＝|cos〈u，n〉|＝|u||n|＝|u||n|.

10. 若平面α，β的法向量分别是n1和n2，设平面α与平面β的夹角为θ，则

n1·n2|n1·n2|cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝|n1||n2|＝|n1||n2|.

ππ

0，，两向量所成角的范围是[0，π]，线面角的范围是0，，二面角的范围是注意：两异面直线所成角的范围是22

π0，. [0，π]，两个平面的夹角的范围是2

11. 当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°； α的取值范围为0°≤α<180°.

12. 把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α. 若直线与x轴平行或重合，则k＝0.

y2－y1

13. 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝，当x1＝x2时，直线P1P2的斜率不存在．

x2－x1y

14．直线的方向向量与斜率的关系：若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为(x，y)，则k＝.

x15. 对于斜率分别为k1，k2的两条直线l1，l2，有l1∥l2⇔k1＝k2.

注意：(1)l1∥l2⇔k1＝k2成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②l1与l2不重合． (2)k1＝k2⇒l1∥l2或l1与l2重合(斜率存在)．(3)l1∥l2⇒k1＝k2或两条直线的斜率都不存在．

16. l1与l2的斜率都存在，分别为k1，k2，则l1⊥l2⇔k1·k2＝－1，l1与l2中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则1

l1与l2的位置关系是l1⊥l2.当两条直线的斜率都存在时，若这两条直线有垂直关系，则k1＝－.

k2

17. 设直线l与坐标轴的交点为(a，0) 、(0，b)，则a叫做直线l在x轴上的截距, b叫做直线l在y轴上的截距．截距是一个实数，它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标，可以为正数、负数和0.

y－y1x－x118. 点斜式方程：y－y0＝k(x－x0)；斜截式方程：y＝kx＋b；两点式方程：＝(其中x1≠x2，y1≠y2)；截距

y2－y1x2－x1xy

式方程：＋＝1

ab

19. 把关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式． ①方程是关于x，y的二元一次方程．②方程中等号的左侧自左向右一般按x，y，常数的先后顺序排列． ③x的系数一般不为分数和负数．

20. 当A，B，C满足下列条件时，直线Ax＋By＋C＝0有如下性质: ①当A≠0，B≠0时，直线与两条坐标轴都相交；

②当A≠0，B＝0，C≠0时，直线只与x轴相交，即直线与y轴平行，与x轴垂直； ③当A＝0，B≠0，C≠0时，直线只与y轴相交，即直线与x轴平行，与y轴垂直；

④当A＝0，B≠0，C＝0时，直线与x轴重合；⑤当A≠0，B＝0，C＝0时，直线与y轴重合． 21. 已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)． (1)l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0或A1C2－A2C1≠0. (2)l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0. 22. 与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)平行的直线方程可设为Ax＋By＋C1＝0(C1≠C)，；与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋C2＝0.

A1x＋B1y＋C1＝0，23. 有唯一解的等价条件是A1B2－A2B1≠0，即两条直线相交的等价条件是A1B2－A2B1≠0.

A2x＋B2y＋C2＝0

|Ax0＋By0＋C|24. 点到直线的距离公式：d＝.

A2＋B2

25. 两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(A，B不同时为0，C1≠C2)之间的距离d＝

|C1－C2|. A2＋B2

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