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鸡兔同笼问题 例 1 ：小梅数她家的鸡与兔，数头有 16 个，数脚有 44 只。问：小梅家的鸡 与兔各有多少只？ 分析：假设16只都是鸡，那么就应该有2X16二32 （只）脚，但实际上有 44只脚，比假设的情况多了 44-32二12 （只）脚，出现这种情况的原因是把兔当 作鸡了。如果我们以同样数量的兔去换同样数量的鸡， 那么每换一只， 头的数目 不变，脚数增加了 2 只。因此只要算出 12里面有几个 2，就可以求出兔的只数。 解：有兔（44-2 X 16）-（ 4-2 ） =6 （只）， 有鸡 16-6 = 10 （只）。 答：有 6 只兔， 10只鸡。 当然，我们也可以假设16只都是兔子，那么就应该有4X16= 64 （只）脚， 但实际上有44只脚，比假设的情况少了 64-44= 20 （只）脚，这是因为把鸡当 作兔了。我们以鸡去换兔， 每换一只，头的数目不变， 脚数减少了 4-2=2（只）。 因此只要算出 20 里面有几个 2，就可以求出鸡的只数。 有鸡（ 4X16-44）-（ 4-2） =10（只）， 有兔 16- 10= 6（只）。 由例 1 看出，解答鸡兔同笼问题通常采用假设法， 可以先假设都是鸡， 然后 以兔换鸡；也可以先假设都是兔，然后以鸡换兔。因此这类问题也叫置换问题。 例 2： 100个和尚 140个馒头，大和尚 1 人分 3个馒头，小和尚 1 人分 1 个 馍馒头。问：大、小和尚各有多少人？ 分析与解：本题由中国古算名题“百僧分馒头问题”演变而得。如果将大和 尚、小和尚分别看作鸡和兔，馒头看作腿，那么就成了鸡兔同笼问题，可以用假 设法来解。 假设 100人全是大和尚，那么共需馒头 300个，比实际多 300-140=160 （个）。现在以小和尚去换大和尚，每换一个总人数不变，而馒头就要减少 3- 1=2（个），因为 160-2=80，故小和尚有 80人，大和尚有 100- 80= 20（人）。 同样，也可以假设 100人都是小和尚，同学们不妨自己试试。 在下面的例题中，我们只给出一种假设方法。 例 3：彩色文化用品每套 19 元，普通文化用品每套 11 元，这两种文化用品 共买了 16 套，用钱 280 元。问：两种文化用品各买了多少套？ 分析与解：我们设想有一只“怪鸡”有 1 个头 11 只脚，一种“怪兔”有 1 个头 19只脚，它们共有 16个头， 280只脚。这样，就将买文化用品问题转换成 鸡兔同笼问题了。 假设买了 16 套彩色文化用品，则共需 19X 16= 304（元），比实际多 304 -280=24（元），现在用普通文化用品去换彩色文化用品，每换一套少用 19- 11=8（元），所以 买普通文化用品 24-8=3（套）， 买彩色文化用品 16 - 3= 13（套）。 例 4：鸡、兔共 100只，鸡脚比兔脚多 20 只。问：鸡、兔各多少只？ 分析：假设 100只都是鸡，没有兔，那么就有鸡脚 200 只，而兔的脚数为零。 这样鸡脚比兔脚多 200只，而实际上只多 20 只，这说明假设的鸡脚比兔脚多的 数比实际上多 200－ 20=180（只）。 现在以兔换鸡，每换一只，鸡脚减少 2 只，兔脚增加 4只，即鸡脚比兔脚多 的脚数中就会减少4 + 2 = 6 （只），而180-6= 30,因此有兔子30只，鸡100 —30= 70 （只）。 解：有兔（2X 100— 20）-（ 2 + 4）= 30 （只）， 有鸡 100— 30=70（只）。 答：有鸡 70只，兔 30只。 例 5：现有大、小油瓶共 50 个，每个大瓶可装油 4 千克，每个小瓶可装油 2 千克，大瓶比小瓶共多装 20 千克。问：大、小瓶各有多少个？ 分析：本题与例 4 非常类似，仿照例 4 的解法即可。 解：小瓶有（4X 50-20）-（ 4 + 2）= 30 （个）， 大瓶有 50-30=20 （个） 。 答：有大瓶 20 个，小瓶 30 个。 例 6：一批钢材，用小卡车装载要 45 辆，用大卡车装载只要 36辆。已知每 辆大卡车比每辆小卡车多装 4 吨，那么这批钢材有多少吨？ 分析：要算出这批钢材有多少吨， 需要知道每辆大卡车或小卡车能装多少吨。 利用假设法，假设只用 36辆小卡车来装载这批钢材，因为每辆大卡车比每 辆小卡车多装 4 吨，所以要剩下 4 X 36= 1 44 （吨） 。根据条件，要装完这 144吨 钢材还需要 45-36=9（辆）小卡车。这样每辆小卡车能装 144- 9= 16（吨）。由 此可求出这批钢材有多少吨。 解： 4X 36-（ 45-36）X 45= 720（吨）。 答：这批钢材有 720 吨。 例 7：乐乐百货商店委托搬运站运送 500 只花瓶，双方商定每只运费 0.24 元，但如果发生损坏，那么每打破一只不仅不给运费，而且还要赔偿 1.26 元， 结果搬运站共得运费 115.5 元。问：搬运过程中共打破了几只花瓶？ 分析：假设 500只花瓶在搬运过程中一只也没有打破，那么应得运费 0.24 X 500=120（元）。实际上只得到 115.5 元，少得 120-115.5=4.5 （元）。搬运 站每打破一只花瓶要损失 0.24+1.26=1.5（元）。因此共打破花瓶 4.5 - 1.5 = 3（只）。 解：（ 0.24 X500—115.5） - （ 0.24+ 1.26）= 3（只）。 答：共打破 3 只花瓶。 例 8：小乐与小喜一起跳绳，小喜先跳了 2 分钟，然后两人各跳了 3 分钟， 一共跳了 780 下。已知小喜比小乐每分钟多跳 12 下，那么小喜比小乐共多跳了 多少下？ 分析与解： 利用假设法， 假设小喜的跳绳速度减少到与小乐一样， 那么两人 跳的总数减少了 12X（ 2+ 3）= 60（下）。 可求出小乐每分钟跳 （780— 60）^（ 2+ 3+ 3）= 90 （下）， 小乐一共跳了 90 X 3=270 （下），因此小喜比小乐共多跳 780— 270X 2= 240 （下）。 练习： 1．鸡、兔共有头 100 个，脚 350 只，鸡、兔各有多少只？ 答案：兔 75 只，鸡 25 只。 本文来源：https://www.dywdw.cn/9de85ef6f8d6195f312b3169a45177232e60e459.html
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2024-03-29
