【#第一文档网# 导语】以下是®第一文档网的小编为您整理的《导数与函数单调性的关系》，欢迎阅读！
导数与函数单调性的关系 教材中导数的应用之一为判断函数的单调性。若函数yf(x)在某个区间I上可导（对于区间端点，只要求它存在左（或右）导数）则称f(x)为区间I上的可导函数。那么区间I上的可导函数与函数单调性有什么关系呢？ 一、 f'(x)0（或f'(x)0）是yf(x)在某个区间I上为增（或减）函数的充分不必要条件 设函数yf(x)在某个区间I上可导，如果f'(x)0，则f(x)为增函数；如果（参考书目（1）第127页） f'(x)0，则f(x)为减函数。但当yf(x)在某个区间I上为增（或减）函数时，并不能得到f'(x)0（或。例如：yf(x)x3在(,)上单调递增，但f'(x)3x20。即f'(x)0）f'(x)0（或f'(x)0）是yf(x)在某个区间I上为增（或减）函数的充分不必要条件。 二、若函数yf(x)为区间(a,b)内的可导函数，则f'(x)0（或f'(x)0）是yf(x)在区间（a，b）内为增（或减）函数的必要不充分条件。 证明：设x为区间(a,b)内任一点，当x充分小时仍有xx(a,b)，由于yf(x)在区间（a，b）内为增函数，所以f(xx)f(x)0，即f'(x)0。 x'但f(x)0时，yf(x)在区间（a，b）内不一定为增函数。 0(xb)'例如：f(x)则f(x)0但f(x)在(,)上不是增函数。 2(xb)(xb)三、 函数yf(x)在某个区间I上可导，则yf(x)在区间I上为增（或减）函数的充要条件为： ''（1）对一切xI都有f(x)0（或f(x)0） '（2）使得f(x)0的点x不连续。 证明见参考书目（2）第187页。 值得注意的是单调函数可以在无穷多个点处使得f(x)0。 '例如：f(x)sin(xk)2k x[k当xk，kZ时f'(x)0。 2,k2) kZ在R上单调递增，有了前面的充要条件，我们来解答2004年普通高等学校招生全国统一考试文科数学19题：已知函数f(x)ax33x2x1在R上单调递减，求实数a的取值范围。 解： f'(x)3ax26x1， 令f'(x)0在R上恒成立得解得a3， a0 3612a0a3'当且仅当1时f(x)0， x3实数a的取值范围是(,3]。 参考书目： （1）《数学》第三册（选修Ⅱ） 人民教育出版社中学数学室 编著 人民教育出版社出版。 （2）《数学分析》上册 华东师范大学数学系 编 高等教育出版社出版。 本文来源：https://www.dywdw.cn/9ed46aeb856a561252d36ff3.html
下载此文档
搜索文档
阅读：
文档下载
2023-01-01
