平行四边形角平分线定理

2024-03-10 23:52:36 第一文档网 [ 字体：小中大 ] [

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平行四边形角平分线定理

平行四边形角平分线定理

一、定理概述

平行四边形角平分线定理是指，如果在一个平行四边形中，从相邻两个顶点引出的两条对角线互相平分对应的两个内角，则这两条对角线互相垂直。

二、证明过程

1. 假设ABCD是一个平行四边形，AC和BD是它的对角线。

2. 假设AC和BD相交于点O，且AO和CO分别与AB和CD交于点E和F。

3. 由于ABCD是一个平行四边形，所以∠A=∠C，∠B=∠D。

4. 由于AC和BD相交于点O，所以∠AOC+∠COB=180°，同时也有∠AOD+∠DOB=180°。

5. 将上述两个等式相加可得：2(∠AOC+∠COB)=360°，即∠AOC+∠COB=180°。

6. 由于AECB是一个四边形，所以它的内角和为360°。又因为AO是它的一条对角线，所以ACE和BOC互为补角。同理，在四边形AFDC中有ADF和BOC互为补角。因此有：

ACE + ADF = BOC + BOC = 2BOC

7. 由于AC和BD互相平分对应的两个内角，所以∠AOC=∠COD和∠BOC=∠DOE。

8. 将上述两个等式代入第五步可得：2(∠COD+∠DOE)=180°，即∠COD+∠DOE=90°。

9. 由于ACE和ADF互为补角，所以它们的和为180°。将其代入第七步可得：2(ACE+ADF)=2BOC，即ACE+ADF=BOC。

10. 由于ACE和ADF的和为180°，所以它们互相补角。同时，BOC和DOE也互相补角。因此有：

ACE + ADF = BOC + DOE

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