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绝对值、相反数、倒数的性质及应用 【知识大串联】 1．相反数的概念关键要理解“只有符号不同”的含义，规定零的相反数是零； 2．互为相反数指的是一对数，甲、乙两数互为相反数包括甲是乙的相反数，乙也是甲的相反数； 3．相反数的几何意义：表示互为相反数的两个点（除0外）分别在原点O的两边，并且到原点的距离相等。 4．多重符号化简的依据就是相反数的意义，化简的结果是由“－”号的个数来决定的，简称：奇负偶正。 5．绝对值的几何意义：从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数的点离开原点的距离。 注意：这里的距离，是以单位长度为度量单位的，是一个非负的量。 6．一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零。 7．两个负数，绝对值大的反而小。 8．绝对值的性质： （1）若a为有理数，则︱a︱≥0. （2）绝对值为某一正数的有理数有两个，它们互为相反数；互为相反数的两 个数的绝对值相等。 （3）若︱a︱=a，则a≥0. 若︱a︱= —a，则a≤0 （4）若︱a︱+︱b︱+︱c︱+︱d︱+…+︱m︱=0，即a=0,b=0,c=0,d=0,…,m=0. （5）最小的绝对值为0，但无最大的绝对值。 9．相反数的性质：若a、b互为相反数，则a+b=0. 10．倒数的性质： 若a、b互为倒数，则ab=1. 【巩固训练】 例1.（重庆市中考题）5的相反数是（ ) A. －5 B. 5 C. D. 例2.（绵阳市)绝对值为4的实数是 A. ±4 B. 4 C. －4 D. 2 例3.（佛山市中考题）－2的绝对值是（ ）。 A．2 B．－2 C．±2 D．A. 0 B. －2 C.2 D. 4 例5若a、b、c都是负数，且︱x-a︱+︱y-b︱+︱z-c︱=0，则xyz是（ ） 例4.（济南市中考题)若a与2 互为相反数， 则|a+2|等于（ ) A 负数 B 非负数 C 正数 D非正数 例6已知a的绝对值是它自身；b的相反数；c的倒数是它自身，则结果不唯一的是（ ）。 A ab B ac C bc D abc 3．解决实际问题 例8 质检员抽查某种零件的长度，超过规定长度的记为正数，不足规定长度的记为负数.检查结果如下：第一个为0.13毫米，第二个为－0.2毫米，第三个为－0.1毫米，第四个为0.15毫米，则长度最小的零件是第几个？哪一个零件与规定长度的误差最小？ 【解题方法警示】 1．整体代换 例9. 若|a－2|＝2－a，求a的取值范围。 例10 若a、b互为相反数，c、d互为倒数，则a+b+cd+1= . 2．数形结合 例10.（全国初中数学竞赛试题)设x是实数，y＝|x－1|+|x+1|。下列四个结论： Ⅰy没有最小值； Ⅱ 只有一个x使y取到最小值； Ⅲ 有有限多个x（不只一个)使y取到最小值； Ⅳ 有无穷多个x使y取到最小值。 其中正确的是 [ ]。 A．Ⅰ B．Ⅱ C．Ⅲ D．Ⅳ 解析:我们知道，|x|的几何意义是表示数轴上点x到原点的距离。类似地可知，|x－a|的几何意义是表示数轴上点x到点a的距离。一些有关绝对值的竞赛题，利用上述绝对值的几何意义，借助数形结合，常常会得到妙解。 原问题可转化为求x取那些值时，数轴上点x到点1与点－1的距离之和为最小。 从数轴上可知，区间[－1，1]上的任一点x到点1与点－1的距离之和均为2；区间[－1，1] 之外的点x 到点1与点－1的距离之和均大于2。所以函数y＝|x－1|+|x+1|当－1≤x≤1时，取得最小值2。 故选（D)。 3．分类 例11.（哈尔滨市中考题）已知|x|＝3，|y|＝2，且xy＜0，则x＋y的值等于（ ） A．5或－5 B．1或－1 C．5或1 D．－5或－1 本文来源：https://www.dywdw.cn/aa4d72ce0540be1e650e52ea551810a6f424c848.html
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2023-01-22
