【#第一文档网# 导语】以下是®第一文档网的小编为您整理的《微专题24椭圆、双曲线、抛物线的离心率问题(解析)》，欢迎阅读！
微专题24 椭圆、双曲线的离心率问题 考题导航 题组一 根据条件或几何特征构造a，b，c的齐次等式求离心率 m＋n2555n165n 1. 或 解析：当m>0，n>0时，＝，e2＝＝，e＝；当m<0，n<0时，34m9m93mm＋n2516555＝，e2＝＝，e＝，所以e＝或. 9n164345xy2a2c 2. 解析：直线BF2的方程为＋＝1，联立22解得点A的坐标为(22，5cba＋cxy＋＝1，a2b2b3a2＋c2b32a2cb3b3b－22)，则点C的坐标为(22，22)，kF1C＝2＝2.又k＝－，由AB2acca＋ca＋ca＋c3ac＋c3＋ca2＋c2b3－b＝－1，即b4＝3a2c2＋c4，所以 (a2－c2)2＝3a2c2＋c4，化简得e＝cF1C⊥AB得2·a3ac＋c3c＝5. 5 →→→→→ 1. 6－3 解析：由题意设|AB|＝|AF2|＝m，因为AB·AF2＝0，所以|BF2|＝2m，所6m22m6mc2cF1F2以AF1＝，F1F2＝，所以e＝＝＝＝＝6－3. 22a2aAF1＋AF22mm＋2题组二 利用曲线自身变量范围或几何特征构造不等关系解决离心率范围问题 1. 0，xy＋＝1，cb6－2 解析：圆M与x轴相切于焦点F，不妨设M(c，y)，因为M在椭圆2b2b2b2上，所以y＝或y＝－，所以圆的半径为，过点M作MN⊥y轴，垂足为N，则PN＝aaaNQ，MN＝c，所以PN＝NQ＝22b－c2.因为∠PMQ为钝角，则∠PMN＝∠QMN>45°，a422222即PN＝NQ>MN＝c，所以（a－c）bb－c2>c，2>c2，即－c得>2c2，a2－2c2＋c2e2>2c2，2aaa26－2. 2e4－4e2＋1>0，(e2－2)2－3>0.因为0，所以e2－2<－3，e2<－3＋2，所以0
1→→→2→
，1 解析：设点P(x0，y0)，点M(xM，yM)．因为F1M＝2MP，所以F1M＝F1P＝ 2. 23212422→2
x0－c，y0，(x0＋c，y0)＝(xM＋c，yM)，所以M所以F2M＝x0－c，y0.因为PO⊥F2M，3333333
2
x20＋y0＝2cx0，24a（a＋c）22
222x0－cx0＋y0所以＝0，即x解得x＝或x0＝0＋y0＝2cx0.联立x20y00333c＋＝1，a2b2
a（a－c）a（a－c）1
.因为－a0，所以x0＝∈(0，a)，所以02－ac，解得，所cc21以e∈2，1.
acac
1. (1，2＋1) 解析：由已知及正弦定理知，＝，即＝，
PF2PF1sin∠PF1F2sin∠PF2F1
PF1cc
所以＝.因为P在双曲线的右支上，所以PF1－PF2＝2a，所以·PF2－PF2＝2a，所以PF2
PF2aa2a22a2
＝.由双曲线的几何性质知PF2>c－a，所以>c－a，即c2－2ac－a2<0，所以e2－2ec－ac－a－1<0，解得－2＋12＋1，因为e>1，所以双曲线的离心率的范围是(1，2＋1)． 题组三 利用条件构造函数模型求离心率范围
1.
26
解析：设左焦点为F1，连结AF1，BF1，可得四边形AF1BF是矩形，所，32
1π
α＋2sin4
以AO＝OF＝OB＝c，所以AB＝2c.又AF⊥BF，所以AF＝2csin α，BF＝2ccos α.又因为AF1c1
＝BF，AF1＋AF＝2a，所以2csin α＋2ccos α＝2a，即＝＝
asin α＋cos απππ62c6，，所以≤2sinα＋≤2，所以≤≤. α∈124422a3
【点评】本题的关键是利用椭圆的定义建立等量关系式2csin α＋2ccos α＝2a，然后借ππ助已知条件α∈12，4，利用三角函数的图象求解离心率的范围．
x2y222＝m＋2，b2＝－n，c2＝m＋2 1. －＝1，所以a1，1 解析：因为椭圆C1：11
m＋2n2＋n，e21＝
m＋2＋nnx2y2
＝1＋.因为双曲线C2：＋＝1，所以a2b2c22＝m，2＝－n，2＝m－n，mnm＋2m＋2
.因为
1112＝1－所以由题意得，m＋2＋n＝m－n，则n＝－1，所以e1.因为m>0，所以1－>，
m＋2m＋2212
即e2<1. 1>，因为0，所以221
1
【点评】本题根据题设“相同的焦点”建立等量关系，得到函数关系式e2，1＝1－m＋2进而根据m的范围，借助反比例函数求解离心率的范围．
冲刺强化训练(24)
1. 3 解析： a＝3，c＝3＋6＝3，故离心率为3.
2x2y2
2. 解析：设椭圆的方程为2＋2＝1(a>b>0)，可得焦点为F1(－c，0)、F2(c，0)，
2ab其中c＝a2－b2.因为以F1F2为直径的圆恰好过短轴的两顶点，短轴端点到原点的距离等于
c2
焦距的一半，即b＝c，可得a2－c2＝c，化简得a＝2c，所以该椭圆的离心率e＝＝.
a2
a2
3. 1＋2 解析：由题可知c－＝2a，故e2－1＝2e，又e>1，故e＝1＋2.
c1bb 4. 解析：根据题意得，直线AB2的方程为：y＝x＋b.直线B1F的方程为y＝x－b，
2ac2ac2aca2
两直线方程联立可解得x＝.又由题意可得＝，化简可得2c2＋ac－a2＝0，即2e2
a－ca－cc1
＋e－1＝0，又因为0，所以解得离心率e＝.
2
2
5. 解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意得y1<0，y2>0.直线l的方程为y＝3(x
3
y＝3（x－c），
－c)，其中c＝a2－b2.联立x2y2得(3a2＋b2)y2＋23b2cy－3b4＝0，解得y1＝
a2＋b2＝1，
－3b2（c＋2a）－3b2（c－2a）3b2（c＋2a）→→
，y2＝.因为AF＝2FB，所以－y1＝2y2，即
3a2＋b23a2＋b23a2＋b2－3b2（c－2a）2＝2·，则离心率e＝.
33a2＋b2
2x2y2b2
6. 解析：设F1(－c，0)，将x＝－c代入2＋2＝1(a>b>0)，得y＝±，所以PF1
2abab2b
＝，OF1＝c.因为AB∥OP，所以tan ∠POF1＝tan ∠BAO＝，所以在直角三角形中POF1
aaPF1b2bc2中，tan ∠POF1＝＝＝，所以b＝c，所以a＝2c，所以e＝＝.
OF1acaa2
PF＝，3PF－PF＝2a，5
7. 解析：因为所以在△PFF
32aPF＝4PF，
PF＝3，
11
2
1
2
2
2
2
8a
12
中，由余弦定理得4c2
8a2a8a2a682322682得4e2＝＝＋－2××cos ∠Fa－acos ∠F1PF2＝1PF2.两边同时除以a，3333999321005
－cos ∠F1PF2，又cos ∠F1PF2∈[－1，1)，所以4<4e2≤，1≤.当点P、F1、F2共线993555时，∠F1PF2＝180°，e＝，则1≤，e的最大值为.
333
8.
2，1 解析：由于线段OM的垂直平分线经过点F，则MF＝OF＝c，利用平面
2
a22
几何折线段大于或等于直线段(中心到准线之间的距离)，则有2c≥所以e≥.又e<1，故
c22
≤e<1. 2
x2y2x2y2
9. 2 解析：不妨设椭圆方程为＋＝1(m>n)，双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，
mnab点P为图象在第一象限的交点．在椭圆方程里根据定义有PF2＋PF1＝2m，在双曲线方程→→
里根据定义有PF1－PF2＝2a，从而可得PF1＝m＋a，PF2＝m－a，而根据PF1·PF2＝0，得△PF1F2为直角三角形，根据勾股定理有PF12＋PF22＝F1F12，即(m＋a)2＋(m－a)2
2
e211ma1＋e222＝(2c)，化简为m＋a＝2c，则＝＋2＝2＋2＝2.
cc（e1e2）2e21e2
10.
3
解析：由椭圆的定义可得PF1＋PF2＝2a，联立PF1·PF2＝2c2，解得PF2＝a－3
33，即椭圆的离心率的最小值为. 33
a2－2c2或PF2＝a＋a2－2c2.因为a－a2－2c2≤a＋a2－2c2，由a－a2－2c2≥a－c，得c≥a2－2c2， 所以c2≥a2－2c2，即3c2≥a2, 所以e≥
→→2
11. 解析：设点P的坐标为(x0，y0)，由题意得OP·PA＝0，所以x20－ax0＋y0＝0，联立x0y0a2＋b2＝1，
2x20－ax0＋y0＝0，
222322消去y20，得(a－b)x0－ax0＋ab＝0. 2
2
a2b2
因为方程的一个根为a，由根与系数关系知ax0＝22，
a－bab2
所以x0＝2.
a－b2由00，得
2
2
c1＝，a2
2
a＝2，
12. 解析：(1) 由题意得a解得
＝4，b＝3，ca＝b＋c，
2
2
2
x2y2
所以椭圆C的方程为＋＝1.
43a(2) 设点M(x1，y1)，点Pc，y0. y1y0
由A，M，P三点共线得＝2，
x1＋aa
＋ac
2
所以y0＝
ay1c＋ax1＋a
2
.
因为点M在椭圆C上， 所以
y21＝
b2（a2－x21）
. 2a
acy1c＋a
2
又MP为直径，所以OP⊥BM，
y2b2（a＋c）（a2－c2）（a＋c）y11（a＋c）
所以kOP·kBM＝a2（x1＋a）·x1－a＝a（x21－a2）＝－1，
所以c2＋ac－a2＝0， 所以e2＋e－1＝0.
又0，解得e＝5－1
2
. a3＝－a3＝－
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2022-07-10
