必修五线性规划中确定平面区域的几种方法

2022-04-23 05:30:04 第一文档网 [ 字体：小中大 ] [

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二元一次不等式表示平面区域的判定方法

作一简单的归纳和总结。

一、特殊点法

由于将直线l:Ax+By+C=0上同一侧的任意一点(x,y)的坐标代入Ax+By+C所得实数的正负情况都相同,因此只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0,y0),由Ax0+By0+C的正负即可判定Ax+By+C>0表示直线哪一侧的平面区域。特别地,当C≠0时,常把原点作为特殊点。

我们在利用特殊点判定时,要有辩证思维,即所取的特殊点并不唯一,根据题目需要可以任意选除原点外的特殊点,如选择点(1,0)、(1,1)、(-1,0)等。二、B符号判定法

Ax+By+C<0表示的区域为直线l:Ax+By+C=0上方的区域;Ax+By+C>0表示的区域为直线l:Ax+By+C=0下方的区域。

上述法则即为B符号判断法则,其本质是由Ax+By+C与B的关系判定得出的。用一句话概括,即“同号上,异号下”。

对于B=0的情形,可结合图形具体操作,结论很容易判定。在画不等式所表示的区域时,我们要时刻注意不等号中的等号是否成立,以确定点是否能在直线上,从而决定直线画成实线还是虚线,由于直线方程中的B容易找出,因此B符号判定法就成为常用的区域判定方法。三、A符号判定法

按照同样的方法我们可以得到下面的结论。当A>0时,Ax+By+C>0表示的区域为直线l:Ax+By+C=0右方的区域;Ax+By+C<0表示的区域为直线l:Ax+By+C=0左方的区域。同理可知,当A<0时,Ax+By+C<0表示的区域为直线l:Ax+By+C=0右方的区域;Ax+By+C>0表示的区域为直线l:Ax+By+C=0左方的区域。上述法则即为A符号法则,其本质是由Ax+By+C与A的关系判定得出的。用一句话概括,即“同号右,异号左”。四、图像判定法

凡涉及可行域问题基本上要画图,不妨就从直线在直角坐标系中经过的象限出发考虑问题,根据经过的象限相同,可行域相同这一原则:

注:(1)图1中“+”表示Ax+By+C>0的区域,“-”表示Ax+By+C<0的区域; (2)当A或B为0时,可通过不等式直接确定平面区域。

例如:画出不等式2X+Y-10<10表示的平面区域。

解:(1)先画出直线2X+Y-10=0(画成虚线), 取点(1,1),代入2X+Y-10,有2×1+1-10=-7<0,

∴2X+Y-10<0表示的区域是直线2X+Y-10=0的左下半平面,如图2所示。

(2)∵2X+Y-10<0且1>0 ∴由B符号判定法可知:2X+Y-10<0表示的区域是直线2X+Y-10=0的左下半平面。

(3)∵2X+Y-10<0且2>0∴由A符号判定法可知:2X+Y-10<0表示的区域是直线2X+Y-10=0的左下半平面。

(4)由图像法的结合图直接可知如上之结论。

对不等式组确定的平面区域,用上述方法会很快找到,但图像法更简便易行,读者不妨用下面的几个练习试一试。

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