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方差与标准差 教学目标 （1）通过实例是学生理解样本数据的方差、标准差的意义和作用； （2）学会计算数据的方差、标准差； （3）使学生掌握通过合理抽样对总体的稳定性水平作出科学估计的思想． 教学重点 用样本数据的方差和标准差估计总体的方差与标准差． 教学难点 理解样本数据的方差、标准差的意义和作用，形成对数据处理过程进行初步评价的意识． 教学过程 一、问题情境 1．情境： 有甲、乙两种钢筋，现从中各抽取一个标本（如表）检查它们的抗拉强度（单2位：kg/mm）,通过计算发现，两个样本的平均数均为125。 甲 110 120 130 125 120 125 135 125 135 125 乙 115 100 125 130 115 125 125 145 125 145 2．问题： 哪种钢筋的质量较好？ 二、学生活动 由图可以看出，乙样本的最小值100低于甲样本的最小值100，最大值145高于甲样本的最大值135，这说明乙种钢筋没有甲种钢筋的抗拉强度稳定. 我们把一组数据的最大值与最小值的差称为极差（range）。由图可以看出，乙的极差较大，数据点较分散；甲的极差小，数据点较集中，这说明甲比乙稳定。运用极差对两组数据进行比较，操作简单方便，但如果两组数据的集中程度差异不大时，就不容易得出结论。 考察样本数据的分散程度的大小，最常用的统计量是方差和标准差。 三、建构数学 1．方差： 1n一般地，设一组样本数据x1，…，其平均数为x，则s(xix x2，xn ，)2ni12－为这个样本的方差． 因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大了离差的程度，我们将方差的算术平方根称为这组数据的标准差． 1n2．标准差：s(xix)2 ni1 标准差也可以刻画数据的稳定程度． 3．方差和标准差的意义： 描述一个样本和总体的波动大小的特征数，标准差大说明波动大． 四、数学运用 1．例题： 2例1．甲、乙两种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量如下（单位：t/hm），试根据这组数据估计哪一种水稻品种的产量比较稳定。 品种 第1年 第2年 第3年 第4年 第5年 甲 9.8 9.9 10.1 10 10.2 乙 9.4 10.3 10.8 9.7 9.8 解：甲品种的样本平均数为10，样本方差为 2 2222 [（9.8-10）+（9.9-10）+（10.1-10）+（10-10）+（10.2-10）]÷5=0.02. 乙品种的样本平均数也为10，样本方差为 22222 [（9.4-10）+（10.3-10）+（10.8-10）+（9.7-10）+（9.8-10）]÷5=0.24 因为0.24>0.02，所以，由这组数据可以认为甲种水稻的产量比较稳定。 例2．为了保护学生的视力，教室内的日光灯在使用一段时间后必须更换。已知某校使用的100只日光灯在必须换掉前的使用天数如下，试估计这种日光灯的平均使用寿命和标准差。 151~18181~21211~24241~27271~30301~33331~36361~39天数 0 0 0 0 0 0 0 0 灯泡数 1 11 18 20 25 16 7 2 分析：用每一区间内的组中值作为相应日光灯的使用寿命，再求平均寿命。 解：各组中值分别为165，195，225，285，315，345，375，由此算得平均数约为165×1%+195×11%+225×18%+255×20%+285×25%+315×16%+345×7%+375×2%=267.9≈268(天) 这些组中值的方差为 22221/100×[1×(165-268)+11×(195-268)+18×(225-268)+20×(255-268)+25×22222(285-268)+16×(315-268)+7×(345-268)+2×(375-268)]=2128.60(天). 故所求的标准差约2128.646（天） 答：估计这种日光灯的平均使用寿命约为268天,标准差约为46天. 2．练习： （1）课本第68页练习第1、2、3、4题 ； 本文来源：https://www.dywdw.cn/bf8d88bc2c3f5727a5e9856a561252d381eb20fa.html
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2023-02-14
