高中数学-运用两点间的距离公式求最值解题方法谈

2022-12-12 15:03:21 第一文档网 [ 字体：小中大 ] [

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运用两点间的距离公式求最值

两点间的距离公式是平面解析几何中最基本的公式．根据题设条件，构设点的坐标，利用两点间的距离公式，数与形相结合，可以使一些代数问题得到直观、形象、简捷、合理的解答．现就两点间的距离公式在求最值中的应用举例说明．一、求函数的最值例１求函数y

x24x13x210x26的最小值．

分析：本题含有两个根式，切不可把两个无理式的最小值的和作为函数y的最小值，因为这两个根式各自的最小值是在不同的x处取得的．如果从代数的角度考虑，其解答将会比较繁琐，仔细观察式子的结构，改变式子的表示形式：

y(x2)2(03)2(x5)2(01)2，易联想到两点间的距离公式，从而将代数

问题转化为几何问题来解决．

解：如图1，在平面直角坐标系内，设点Ｍ（2，3），

N5(，)1，P(x，0)．

则y(x2)(03)(x5)(01) MP

2

2

2

2

P≥N NM

(52)2(13)25，

即y≥5（其中等号在Ｍ，Ｐ，Ｎ三点共线时成立）， ∴ymin5．

评注：此题若用纯代数知识求解，则比较麻烦，但联想到利用两点间的距离公式，就会茅塞顿开．

例2 求函数f(x，y)

x2y2(x1)2y2x2(y1)2(x1)2(y1)2的

最小值．

分析：式子中出现了四个根式、两个变量，且根式中皆为平方和的形式，联想两点间的距离公式，则可简化解答过程．

解：如图2， f(x，y)表示在平面直角坐标系

0)，B(1，0)，C(0，1)，中的动点P(x，y)到定点A(0，D(11)，的距离之和．

而△APD中，PAPD≥AD，当且仅当

点P在线段AD上时等号成立；△CPB中，PCPB≥BC，当且仅当点P在线段BC上时等号成立，

所以PAPDPCPB≥ADBC22，当且仅当点Ｐ为AD与BC的交点时， f（x，y）取得最小值22，此时点P的坐标为

二、求距离的平方和的最值

例3 已知点A(2，1)，B(2，2)，点P(x0，y0)满足y=2x，求PAPB取得最小值时点P的坐标．

分析：利用两点间距离公式将PAPB表示为f(x，y)的形式，再消元得一个关于x（或y）的二次函数，最后求值．

解：由已知点P(x0，y0)满足y02x0，结合两点间的距离公式，得

2

2

2

2

11,． 22

PAPB(x02)2(y01)2(x02)2(y02)2

22

2x08x082y06y05

22

222x08x088x062x05

210x020x013

10(x01)23，

当x01时，PAPB取得最小值3，此时点P的坐标为（1，2）．

评注：对于几何中的平方和的最值问题，常是先由两点间的距离公式建立二元函数

2

2

f(x，y)，然后通过消元转化为关于x（或y）的函数f（x）（或f（y）），再求解．

一般地，对于根式内能化成两个完全平方式之和的问题，均可借助于两点间的距离公式，利用数形结合的思想来解决，这也是这类题型解法的创新之处．以上仅介绍了两点间的距离公式在求最值中的应用，而两点间的距离公式的应用是十分广泛的，随着学习的深入，它在其他方面的应用将会逐渐展现．

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