小专题(三) 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系的综合运用

2022-12-31 02:36:12 第一文档网 [ 字体：小中大 ] [

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小专题(三) 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系的综合运用

——教材P57复习题T15的变式与应用

教材母题：设x1，x2是关于x的方程x2－4x＋k＋1＝0的两个实数根．请问：是否存在实数k，使得x1x2＞x1＋x2成立？试说明理由．

【思路点拨】先由一元二次方程有两个实数根，判断出Δ＝b2－4ac≥0，求出k的取值范围，再由根与系数的关系求出x1x2与x1＋x2的值，假设存在实数k满足条件，可得到关于k的一元一次不等式，进而求得不等式的解集，若不等式x1x2＞x1＋x2的解集在b2－4ac≥0得出的k的取值范围内，则存在k值，否则，不存在．【解答】不存在．理由如下：

由题意，得Δ＝(－4)2－4×1×(k＋1)≥0，解得k≤3.由根与系数关系，得x1＋x2＝4，x1x2＝k＋1.假设存在实数k，使得x1x2＞x1＋x2，则k＋1＞4，解得k＞3.这与k≤3矛盾，∴假设不成立．∴不存在实数k，使得x1x2＞x1＋x2成立．

【方法归纳】 (1)解一元二次方程的存在性问题的方法：先假设存在，再根据假设和已知条件推理得出结论，若结论与已知题意相符，则存在，反之，若与题意矛盾，则不存在；(2)一元二次方程的根与系数的关系的前提条件是一元二次方程有实数根，在利用一元二次方程根与系数的关系求待定字母的值时，必须满足Δ≥0. 变式训练：

1．(湘潭中考)已知关于x的一元二次方程x2－3x＋m＝0有两个不相等的实数根x1、x2. (1)求m的值；

(2)当x1＝1时，求另一个根x2的值．

解：(1)∵一元二次方程x2－3x＋m＝0有两个不相等的实数根， ∴b2－4ac＝(－3)2－4×1×m＝9－4m>0. 9∴m<.

4

(2)∵x1＋x2＝3，x1＝1， ∴x2＝2.

2．已知关于x的方程kx2＋(2k＋1)x＋2＝0.

(1)求证：无论k取任何实数时，方程总有实数根；

(2)是否存在实数k使方程两根的倒数和为2？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．解：(1)证明：当k＝0时，方程变形为x＋2＝0，解得x＝－2；当k≠0时，Δ＝(2k＋1)2－4·k·2＝(2k－1)2， ∵(2k－1)2≥0， ∴Δ≥0.

∴当k≠0时，方程有实数根．

∴无论k取任何实数时，方程总有实数根． (2)存在．理由如下：

设方程两根分别为x1、x2，则 2k＋12

x1＋x2＝－，x1x2＝.

kkx1＋x211

∵＋＝2，即＝2， x1x2x1x2

－∴

2k＋1

k2k＋1＝2，即－＝2. 22k

5

解得k＝－.

2

故存在实数k使方程两根的倒数和为2.

3．已知关于x的一元二次方程x2－2kx＋k2＋2＝2(1－x)有两个实数根x1、x2.

(1)求实数k的取值范围；

(2)若方程的两实数根x1、x2满足|x1＋x2|＝x1x2－1，求k的值．解：(1)方程整理为x2－2(k－1)x＋k2＝0. 根据题意，得Δ＝4(k－1)2－4k2≥0， 1

解得k≤.

2

(2)根据题意，得x1＋x2＝2(k－1)，x1x2＝k2. ∵|x1＋x2|＝x1x2－1， ∴|2(k－1)|＝k2－1. 1∵k≤，

2

∴－2(k－1)＝k2－1. 整理得k2＋2k－3＝0，

解得k1＝－3，k2＝1(舍去)， ∴k＝－3.

4．已知关于x的一元二次方程x2＋(2m－3)x＋m2＝0有两个实数根x1，x2. (1)求实数m的取值范围；

(2)若x1＋x2＝6－x1x2，求(x1－x2)2＋3x1x2－5的值．

解：(1)由题意，得Δ＝(2m－3)2－4m2＝4m2－12m＋9－4m2＝－12m＋9≥0， 3∴m≤.

4

(2)由题意可得x1＋x2＝－(2m－3)＝3－2m，x1x2＝m2，又∵x1＋x2＝6－x1x2， ∴3－2m＝6－m2. ∴m2－2m－3＝0. ∴m1＝3，m2＝－1. 3

又∵m≤，

4

∴m＝－1.∴x1＋x2＝5，x1x2＝1. ∴(x1－x2)2＋3x1x2－5

＝(x1＋x2)2－4x1x2＋3x1x2－5 ＝(x1＋x2)2－x1x2－5 ＝52－1－5 ＝19.

1

5．已知关于x的方程x2－(k＋1)x＋k2＋1＝0的两根是一个矩形两邻边的长．

4(1)k取何值时，方程有两个实数根； (2)当矩形的对角线长为5时，求k的值； (3)当k为何值时，矩形变为正方形？

1

解：(1)Δ＝[－(k＋1)]2－4×1×(k2＋1)＝2k－3.

4∵方程有两个实数根，

3

∴Δ≥0，即2k－3≥0，解得k≥.

23

∴当k≥时，方程有两个实数根．

2

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