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高中数学-打印版 浅谈弧长公式及其应用 引入弧度制后,弧长公式变得更加简单,l||R, 即弧长等于弧所对的圆心角(的弧度数)的绝对值与半径的积,同时将有扇形面积公式:S下面对其应用做简单分析,供同学们学习时参考. 一、求弧长、圆心角、半径 例1.已知2弧度的圆心角所对的弦长为2,那么这个圆心角所对的弧长是( ) A、2 B、sin2 C、11lR||2R. 222 D、2sin1 sin1解:如图,AOB2(rad),过O作OCAB于C,并延长OC交弧AB与D, 1AB1. 2AC1在RtAOC中,OA, sinAOCsin112从而得弧AB的长l||R2,选C. sin1sin1AODBOD1(rad),且AC A、DCAOB例2.若一段圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长,则其圆心角的弧度数为( ) 2 B、 C、3 D、2 33解:设正ABC是半径为R的圆O的内接三角形,则弦AB所对的圆心角为2,过O作ODAB交AB于D,则在直角AOD中,AOD,于是,AOB33AB2AD23R3R. 所以,弧长l3R. 2l3R3,选C. RR由弧长公式l||R,得二、求弦长 例3.一个扇形AOB的面积为1cm,它的周长为4cm,求弦长|AB|. 解:如图,设扇形的半径为R,则有又由21(42R)R1R1(cm). 2O/AOB1AOBR1AOB2(rad). 2所以,|AB|2|AO|2sin1. 三、求扇形面积 例4.已知一个扇形的周长为20cm,当它的半径和圆心角各取什么值时,才能使精校版 高中数学-打印版 面积最大?最大面积是多少? 解1:设扇形的半径为R,圆心角为(02),弧长为l,面积为S. 则有2RR20R20. 220020020025. 42284()81200SR222(2)等号当且仅当20,即2时成立,此时R5. 2故当半径为5cm,圆心角为2rad时,扇形面积有最大值25cm. 解2:设扇形的半径为R,圆心角为(02),弧长为l,面积为S. 11Rl(202R)R(R5)22525. 22l20252当半径R5cm时,扇形面积有最大值25cm. 这时2(rad). R5则有l202R. 所以,S四、其他 例5.(2004年浙江卷)点P从(1,0)出发,沿单位圆逆时针方向运动达点Q,则点Q的坐标为( ) 2弧长到3(A)(13311331,) (B)(,) (C)(,) (D)(,) 22222222yQ2解:设点Q的坐标为(x,y),依题意,得POQ. 313. 过P作PHOx于H,则QOH. 所以,|OH|,|HQ|223由于点P在第二象限,故点的坐标为Q(HOP(1,0)x13,),选A. 22例6.如图,圆上一点A按逆时针方向作匀速圆周运动,已知点A每秒转过角,经过2秒钟到达第三象限,经过14秒钟回到原来的位置,求角的0,y大小. A解:设经过14秒钟A转过了k圈,设OA1,由弧长公式及已知条件,得 142k(kZ),即k(KZ). 7Ox0,022. 精校版 本文来源:https://www.dywdw.cn/de3c55da5d0e7cd184254b35eefdc8d376ee14ab.html