中山大学岭南大学学院七月夏令营推免数学试题

2022-12-23 19:24:24 第一文档网 [ 字体：小中大 ] [

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中山大学岭南（大学）学院七月夏令营推免数学试题一、微积分部分

lim

1 a

dx

1（ 10 分） . 求极值： a 0 a

1 x2 a2

（215 分）. 在点（A 1，-2 ）邻域内对 f(x,y)=2x2-xy-y2-6x-3y+5

进行 Taylor 展开

3（ 15 分） . 应用一阶导数求最值的经济应用题，是个分段函

数，还是很简单的，纸片实在太小，所以没写下来二、线性代数部分

3x4（ 10 分） . 求 f(x 1,x 2,x 3)=x 1+x2-e -e +2e-e2的极值

x1x2x3

5（ 10 分） . 若 A2=A，而 A 不是单位矩阵，证明 A 必定是奇异

矩阵。

2

6（10分）. 若

三、概率论部分

1 x 1 2

1 2 ，求 X 1 4

7（ 10 分） .X 具有对称的密度函数

对于 F(x),a>0

p(x), 即 p(x)=p(-x), 则

证明：

（ 1）F(-a)=1-F(a)= （ 2）p{lxl （ 3）p{lxl>a}=2-2F(a)

1 2

a

0

p( x)dx

8（ 20 分） . 设（ X,Y）二维连续，具有密度函数

p(x,y)

p( x, x z)dx

（1）令 Z=X-Y, 证明 Z 的密度函数是

f(z)=

（ 2）设 g( · ) 是奇函数，证明若 X， Y 独立同分布，则

E[g(x-y)]=0

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