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耐克函数 耐克函数是一种类似于反比例函数的一般函数。所谓的耐克函数,是形如bf(x)ax的函数,是一种教材上没有但考试老喜欢考的函数,所以更加要注x意和学习。耐克函数图像形似两个中心对称的对勾,故名对号函数、(对)勾函数,也叫均值函数。 当x0时,f(x)ax也就是当x b有最小值(这里为了研究方便,规定a0,b0),xb的时候,同时它是奇函数,就可以推导出x0时的性质。 a1、耐克函数性质的研究离不开均值不等式。说到均值不等式,其实也是根据二次函数得来的。 2(ab)0,展开就是a22abb20,有a2b22ab,两边我们都知道,同时加上2ab,整理得到(ab)24ab,同时开根号,就得到了平均值定理的公式:ab2ab。 bbb套用这个公式,得到ax2ax2ab,这里有个规定:xxxbb当且仅当ax时取到最小值,解出x,对应的f(x)2ab。 xa现在把axabab,前式大家都知道,2是求平均数的公式。那么后面的式子呢?也是平均数的公式,但不同的是,前面的称为算术平均数,而后面的则称为几何平均数(例:a,b,c的几何平均数是3abc),总结一下就是算术平均数绝对不会小于几何平均数。 我们再来看看均值不等式,它也可以写成这样: 2、另外一种方法,用导数法也可以研究耐克函数的性质。这里不叙述。 上述研究都是建立在x0的基础上的,易知耐克函数是奇函数,所以研究出正半轴图像的性质后,自然能补出对称的图像。 知识点归纳概括 耐克函数的一般形式是:f(x)x定义域是:xx0 k(k0) x值域是:yy2k或y2k 当x0时,xk ,有最小值2k; 当x0时,xk,有最大值2k 单调性:①函数f(x)在区间(,k]和[k,)上单调递增; ②函数f(x)在区间[k,0)和(0,k]上单调递减。 本文来源:https://www.dywdw.cn/ff50c328a5c30c22590102020740be1e650ecc24.html