导数测试题(含答案)

2022-04-03 17:03:17 第一文档网 [ 字体：小中大 ] [

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导数,测试题,答案

导数单元测试题

班级姓名

一、选择题

1．已知函数y＝f(x)＝x2＋1，则在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为( ) A．0.40 B．0.41 C．0.43 D．0.44

2．函数f(x)＝2x2

－1在区间(1,1＋Δx)上的平均变化率ΔyΔx

等于( )

A．4 B．4＋2Δx C．4＋2(Δx)2

D．4x

3．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线( ) A．不存在 B．与x轴平行或重合 C．与x轴垂直 D．与x轴相交但不垂直

4．曲线y＝－1

x

在点(1，－1)处的切线方程为( )

A．y＝x－2 B．y＝x C．y＝x＋2 D．y＝－x－2

5．下列点中，在曲线y＝x2上，且在该点处的切线倾斜角为π

4

的是( )

A．(0,0) B．(2,4) C．(1111

4，16) D．(2，4

)

6．已知函数f(x)＝1

x

，则f′(－3)＝( )

A．4 B.19 C．－14 D．－1

9

7．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是( )

A．(－∞，2) B．(0,3) C．(1,4) D．(2，＋∞)

8．“函数y＝f(x)在一点的导数值为0”是“函数y＝f(x)在这点取极值”的( )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

9．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内的极小值点有( )

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

10．函数f(x)＝－x2＋4x＋7，在x∈[3,5]上的最大值和最小值分别是( )

A．f(2)，f(3) B．f(3)，f(5) C．f(2)，f(5) D．f(5)，f(3)

11．函数f(x)＝x3－3x2－9x＋k在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值为( )

A．－10 B．－71 C．－15 D．－22

12．一点沿直线运动，如果由始点起经过t秒运动的距离为s＝14t4－53

t3

＋2t2，那么

速度为零的时刻是( )

A．1秒末 B．0秒 C．4秒末 D．0,1,4秒末二、填空题

13．设函数y＝f(x)＝ax2＋2x，若f′(1)＝4，则a＝________. 14．已知函数y＝ax2＋b在点(1,3)处的切线斜率为2，则ba

＝________. 15．函数y＝xex的最小值为________．

16．有一长为16 m的篱笆，要围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积

是________m2. 三、解答题

17．求下列函数的导数：(1)y＝3x2＋xcosx； (2)y＝x1＋x

； (3)y＝lgx－ex.

18．已知抛物线y＝x2＋4与直线y＝x＋10，求：

(1)它们的交点； (2)抛物线在交点处的切线方程．

19．已知函数f(x)＝1

3

x3－4x＋4.(1)求函数的极值；

(2)求函数在区间[－3,4]上的最大值和最小值．

导数单元测试题答案

班级姓名

一、选择题

1．已知函数y＝f(x)＝x2

＋1，则在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为( ) A．0.40 B．0.41 C．0.43 D．0.44

解析：选B.Δy＝f(2.1)－f(2)＝2.12－22

＝0.41.

2．函数f(x)＝2x2

－1在区间(1,1＋Δx)上的平均变化率ΔyΔx

等于( )

A．4 B．4＋2Δx

C．4＋2(Δx)2

D．4x

解析：选B.因为Δy＝[2(1＋Δx)2－1]－(2×12－1)＝4Δx＋2(Δx)2

，所以ΔyΔx

＝4＋2Δx，故选B.

3．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线( ) A．不存在 B．与x轴平行或重合 C．与x轴垂直 D．与x轴相交但不垂直

解析：选B.函数在某点处的导数为零，说明相应曲线在该点处的切线的斜率为零．

4．曲线y＝－1

x

在点(1，－1)处的切线方程为( )

A．y＝x－2 B．y＝x

C．y＝x＋2 D．y＝－x－2

11 －＋解析：选A.f′(1)＝li1＋Δx1

1

Δmx→0 Δx＝liΔmx→0 1＋Δx＝1，则在(1，－1)处的切线方程为y＋1＝x－1，即y＝x－2.

5．下列点中，在曲线y＝x2

上，且在该点处的切线倾斜角为π4

的是( )

A．(0,0) B．(2,4)

C．(11114，16) D．(2，4)

故选D.

6．已知函数f(x)＝1

x

，则f′(－3)＝( )

A．4 B.19

C．－1

D．－14

9

解析：选D.∵f′(x)＝－11

x2，∴f′(－3)＝－9.

7．函数f(x)＝(x－3)ex

的单调递增区间是( )

A．(－∞，2) B．(0,3)

C．(1,4) D．(2，＋∞)

解析：选D.f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex

，令f′(x)>0，解得x>2，故选D.

8．“函数y＝f(x)在一点的导数值为0”是“函数y＝f(x)在这点取极值”的( )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：选B.对于f(x)＝x3，f′(x)＝3x2

，f′(0)＝0，不能推出f(x)在x＝0处取极值，反之成立．故选B.

9．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内的极小值点有( )

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

解析：选A.函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如题图所示，函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点即函数由减函数变为增函数的点，其导数值为由负到正的点，只有1个．

10．函数f(x)＝－x2

＋4x＋7，在x∈[3,5]上的最大值和最小值分别是( )

A．f(2)，f(3) B．f(3)，f(5) C．f(2)，f(5) D．f(5)，f(3) 解析：选B.∵f′(x)＝－2x＋4， ∴当x∈[3,5]时，f′(x)<0，故f(x)在[3,5]上单调递减，

故f(x)的最大值和最小值分别是f(3)，f(5)．

11．函数f(x)＝x3－3x2

－9x＋k在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值为( )

A．－10 B．－71 C．－15 D．－22

解析：选B.f′(x)＝3x2

－6x－9＝3(x－3)(x＋1)．由f′(x)＝0得x＝3，－1.

又f(－4)＝k－76，f(3)＝k－27， f(－1)＝k＋5，f(4)＝k－20. 由f(x)max＝k＋5＝10，得k＝5， ∴f(x)min＝k－76＝－71.

12．一点沿直线运动，如果由始点起经过t秒运动的距离为s＝14532

4t－3

t＋2t，那么速度为零的时刻

是( ) A．1秒末 B．0秒 C．4秒末 D．0,1,4秒末

解析：选D.∵s′＝t3－5t2

＋4t，令s′＝0，得t1＝0，t2＝1，t3＝4，此时的函数值最大，故选D.

二、填空题

13．设函数y＝f(x)＝ax2

＋2x，若f′(1)＝4，则a＝________. 答案：1 14．已知函数y＝ax2

＋b在点(1,3)处的切线斜率为2，则ba

＝________.

答案：2

15．函数y＝xex

的最小值为________．

解析：令y′＝(x＋1)ex

＝0，得x＝－1. 当x<－1时，y′<0；当x>－1时，y′>0.

∴y＝－1

min＝f(－1)e

.

答案：－1

e

16．有一长为16 m的篱笆，要围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m2

. 解析：设矩形的长为x m，

则宽为16－2x2

＝(8－x) m(0<x<8)，

∴S(x)＝x(8－x)＝－x2

＋8x

∴S′(x)＝－2x＋8，令S′(x)＝0，则x＝4，

又在(0,8)上只有一个极值点，且x∈(0,4)时，S(x)单调递增， x∈(4,8)时，S(x)单调递减，故S(x)max＝S(4)＝16. 答案：16 三、解答题

17．求下列函数的导数： (1)y＝3x2

＋xcosx；(2)y＝

x

1＋x

；(3)y＝lgx－ex

.

解：(1)y′＝6x＋cosx－xsinx.

(2)y′＝1＋x－x1

1＋x2＝

1＋x

2

.

(3)y′＝(lgx)′－(ex

)′＝

1xln10

－ex

. 18．已知抛物线y＝x2

＋4与直线y＝x＋10，求： (1)它们的交点；

(2)抛物线在交点处的切线方程．

2

解：(1)由

y＝x＋4，

y＝x＋10，

得x2

＋4＝10＋x，

即x2

－x－6＝0，

∴x＝－2或x＝3.代入直线的方程得y＝8或13.

∴抛物线与直线的交点坐标为(－2,8)或(3,13)．

(2)∵y＝x2

＋4，

∴y′＝x＋Δx2＋4－x2＋4

Δlimx→0 Δx

＝x→0 Δx2

＋2x·Δx

ΔlimΔx

＝Δlimx→0 (Δx＋2x)＝2x. ∴y′|x＝－2＝－4，y′|x＝3＝6，

即在点(－2,8)处的切线斜率为－4，在点(3,13)处的切线斜率为6. ∴在点(－2,8)处的切线方程为4x＋y＝0；在点(3,13)处的切线方程为6x－y－5＝0.

19．已知函数f(x)＝13

3

x－4x＋4.

(1)求函数的极值；

(2)求函数在区间[－3,4]上的最大值和最小值．

解：(1)f′(x)＝x2－4，解方程x2

－4＝0，得x1＝－2，x2＝2.

当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

x (－∞，－2) －2 (－2,2) 2 (2，＋∞)

f′(x) ＋ 0 － 0

＋

f(x)

28

－43

3

从上表可看出，当x＝－2时，函数有极大值，且极大值为28

3

；而当x＝2时，函数有极小值，

且极小值为－4

3.

(2)f(－3)＝13×(－3)3

－4×(－3)＋4＝7，

f(4)＝13×43－4×4＋4＝283

，

与极值比较，得函数在区间[－3,4]上的最大值是284

3，最小值是－3

.

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