【#第一文档网# 导语】以下是®第一文档网的小编为您整理的《函数的对称性与周期性(归纳总结)》，欢迎阅读！
函数的对称性与周期性 3.1函数的单调性 知识回顾 1． 一般地，设函数的定义域为区间，⑴ 增函数：如果对于量的值上的任意两个自变，当： 时，都有，那么就称函数在区间⑵ 减函数：如果对于量的值上是增函数； 上的任意两个自变，当时，都有，那么就称函数在区间 2．单调性：如果函数上是减函数； 在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数区间在这个区间上具有单调性，叫做的单调区间． 3．判断函数单调性的基本方法： ⑴ 定义法：任取的正负；判，断， ⑵ 图象法：判断常见函数的单调性，包括一次函数、二次函数与反比例函数； ⑶ 复合函数的单调性——同增异减． 3.2函数的奇偶性（一） 知识点睛 函数图象的对称性 轴对称 函数示意图 奇偶性 偶函数 满足的关系式 本质 当取的自变量互为相反数时， 函数值相等 3.3函数的对称性 知识点睛 一般的轴对称： ⑴ 函数的图象对于直线称关； ⑵ 若数的图，象关满于直足则线函练习1】（1）若函数成轴对称．满足：则 【，2）若函数的图象的对称轴为________；，满足：则 （3）若函数的图象的对称轴为________； 满足：，则（ ⑴的图象的对称轴为________．；；⑵⑶ 【解析】 一般的中心对称：⑴ 函数 的象关于点． 图对称⑵ 若数满足． 函的图成中心对称． ，象关则于点 练习2】（1）若函数，的图象的对称中心为________；满足：则【 2）若函数满足：，则的图象的对称中心为________； （3）若函数满足：，则的图象的对称中心为________． （ ⑴ ； ⑵⑶【解析】；． 3.4函数的周期性 知识点睛 1．对于函数，如果存在一个非零常数使得当，取定义域内的每一个值时，都有 ，那么函数就叫做周期函数．非零常数2．如果周期函数小的正数，那么这个最小的正数就叫做的最小正周期． 3．代数形式 叫做这个函数的一个周期． 的所有周期中存在一个最⑴ 全T：若函数则满足：函数， ，⑵ 半T：若函数是的函数；周期满足： 为 ， 则函数是周期为， ⑶ 其他：若函数的函数．满足：则函数 ，【练习3】如果函数出它的周期： 是的函数． 周期为满足下面的关系式，写⑴；⑵⑶；； ⑶ ⑴；⑷⑵． 【解析】；⑶⑶⑷；；； 3.5如何识别对称性和周期性 注意区别如下四个关系式反映的函数性质：①． ：②有 对称轴：；③有 对称心：中；④有 周期：； 3.6双对称 知识点睛 1．双对称性函数具有周期性．有 周期． ⑴ 若函数，对称的图象关于点及点则函数，证明： 是 ．周期为的函数． ⑵ 若函数对称图象关于直线及则函数的，证明： 是．周期为的周期函数． ⑶ 若函数图象关于直线对称，且关于点对称，则函数证明： 2．正弦、余弦函数的对称性及其结论 是的周期函数．． 周期为 【结论】 （1）对称中心到离他最近的一条对称轴的距离为四分之一各周期； （2）相邻两条对称轴之间的距离为半个周期； （3）相邻两对称中心之间的距离为半个周期。 1．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x+2）＝f（x）对x∈R恒成立，当x∈[0，1]时，f（x）＝2x，则A． ）（ B． C． D．1 解：∵f（x+2）＝f（x）对x∈R恒成立，∴f（x）的周期为2，（x）是定义在R上的偶函数， ∴）＝f（f当x∈[01]时），f（x）＝2x，∴（ ∵，，f）（， 故选：B． 2．定义在R上的函数f（x）满足f（x+6）＝f（x），当﹣3≤x＜﹣1时，f（x）＝﹣（x+2）2，当﹣1≤x＜3时，f（x）＝x．则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2012）＝（ ） B．338 C．1678 D．2012 A．335 解：∵f（x+6）＝f（x），∴f（x）是以6为周期的函数， 又当﹣1≤x＜3时，f（x）＝x， ∴f（1）+f（2）＝1+2＝3，f（﹣1）＝﹣1＝f（5），f（0）＝0＝f（6）； 当﹣3≤x＜﹣1时，f（x）＝﹣（x+2）2， ∴f（3）＝f（﹣3）＝﹣（﹣3+2）2＝﹣1， f（4）＝f（﹣2）＝﹣（﹣2+2）2＝0， ∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）＝1+2﹣1+0+（﹣1）+0＝1， ∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2012） ＝[f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2010）]+f（2011）+f（2012）＝335×1+f（1）+f（2） ＝338． 故选：B． 3．若定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）＝f（x），且x∈[0，1]时，f（x）＝x，则方程f（x）＝log3|x|的解有（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．多于4个 解：由f（x+2）＝f（x）可得函数的周期为2，又函数为偶函数且当x∈[0，1]时，f（x）＝x， 故可作出函数f（x）得图象． ∴方程f（x）＝log3|x|的解个数等价于f（x）与y＝log3|x|图象的交点，由图象可得它们有4个交点，故方程f（x）＝log3|x|的解个数为4， 故选：C． 4．已知函数f（x）是R上的奇函数，对于∀x∈（0，+∞）都有f（x+2）＝﹣f（x），且x∈（0，1]时，f（x）＝2x+1，则f（﹣2012）+f（2013）的值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 解：∵f（x+2）＝﹣f（x），∴f（x+4）＝f（x），即函数的周期是4，∴f（﹣2012）＝f（0）， f（2013）＝f（1）， ∵f（x）是R上的奇函数，∴f（0）＝0，当x∈（0，1]时，f（x）＝2x+1，∴f（1）＝2+1＝3， ∴f（﹣2012）+f（2013）＝f（0）+f（1）＝3． 故选：C． 5．设偶函数f（x）对任意x∈R，都有f（x+3）则f（107.5）＝（A．10）x∈[﹣3，﹣2]时，f（x）＝4x，，且当 B．D．C．﹣10 解：为，故x+3有f（）x+6） 因f（107.5）＝f6×f（x）．函数f（x）是以6为周期的函数．f）＝f（5.5）（（17+5.5． 故选：B． 6．已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f（1﹣x）＝f（1+x），若f（1）＝2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）＝（ ） A．﹣50 B．0 C．2 D．50 解：∵f（x）是奇函数，且f（1﹣x）＝f（1+x），∴f（1﹣x）＝f（1+x）＝﹣f（x﹣1），f（0）＝0， 则f（x+2）＝﹣f（x），则f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数， ∵f（1）＝2，∴f（2）＝f（0）＝0，f（3）＝f（1﹣2）＝f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣2， f（4）＝f（0）＝0，则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝2+0﹣2+0＝0， 则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）＝12[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（49）+f（50） ＝f（1）+f（2）＝2+0＝2， 故选：C． 7．（2017•全国）函数f（x）的定义域（﹣∞，+∞），若g（x）＝f（x+1）和h（x）＝f（x﹣1）都是偶函数，则（ ） A．f（x）是偶函数 B．f（x）是奇函数 C．f（2）＝f（4） D．f（3）＝f（5） 解：∵g（x）＝f（x+1）和h（x）＝f（x﹣1）都是偶函数，∴g（﹣x）＝﹣g（x），h（﹣x）＝h（x）， 得f（﹣x+1）＝f（x+1），f（﹣x﹣1）＝f（x﹣1），即f（﹣x+2）＝f（x），f（﹣x﹣2）＝f（x）， 则f（﹣x+2）＝f（﹣x﹣2），则f（x+2）＝f（x﹣2），则f（x+4）＝f（x）， 则函数f（x）是周期为4的周期函数， 又当x＝0时，f（0）＝f（2），f（﹣2）＝f（0），f（0）＝f（4），∴f（2）＝f（4）， 故选：C． 8．（2016•新课标Ⅱ）已知函数f（x）（x∈R）满足f（x）＝f（2﹣x），若函数y＝|x2﹣2x﹣3|与y＝f（x）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），…，（xm，ym），则xi＝（ ） A．0 B．m C．2m D．4m 解：∵函数f（x）（x∈R）满足f（x）＝f（2﹣x），故函数f（x）的图象关于直线x＝1对称， 函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象也关于直线x＝1对称， 故函数y＝|x2﹣2x﹣3|与 y＝f（x） 图象的交点也关于直线x＝1对称，故xi2＝m， 故选：B． 9．（2016•新课标Ⅱ）已知函数f（x）（x∈R）满足f（﹣x）＝2﹣f（x），若函数yy2）…（与y＝f（x）图象的交点为（x1，y1），（x2，xm，ym），则，，（xi+yi）＝（ ） A．0 B．m C．2m D．4m 解：函数f（x）（x∈R）满足f（﹣x）＝2﹣f（x），即为f（x）+f（﹣x）＝2，可得f（x）关于点（0，1）对称，函数 y1即y＝，的图象关于点（0，1）对称，即有（x1，y1）为交点，即有（﹣x1，2﹣y1）也为交点， （x2，y2）为交点，即有（﹣x2，2﹣y2）也为交点， … 则有 （xi+yi）＝（x1+y1）+（x2+y2）+…+（xm+ym） [（x1+y1）+（﹣x1+2﹣y1）+（x2+y2）+（﹣x2+2﹣y2）+…+（xm+ym）+（﹣xm+2﹣ym）] ＝m． 故选：B． 10．（2016•全国）定义域为R的偶函数f（x）为周期函数，其周期为8，当x∈[﹣4，0]时，f（x）＝x+1，则f（25）＝ 0 ． 解：∵定义域为R的偶函数f（x）为周期函数，其周期为8，当x∈[﹣4，0]时，f（x）＝x+1， ∴f（25）＝f（8×3+1）＝f（1）＝f（﹣1）＝﹣1+1＝0． 故答案为：0． 11．（2014•新课标Ⅱ）偶函数y＝f（x）的图象关于直线x＝2对称，f（3）＝3，则f（﹣1）＝ 3 ． 解：法1：因为偶函数y＝f（x）的图象关于直线x＝2对称，所以f（2+x）＝f（2﹣x）＝f（x﹣2）， 即f（x+4）＝f（x），则f（﹣1）＝f（﹣1+4）＝f（3）＝3， 法2：因为函数y＝f（x）的图象关于直线x＝2对称，所以f（1）＝f（3）＝3， 因为f（x）是偶函数，所以f（﹣1）＝f（1）＝3， 故答案为：3． 12．已知定义在R上的奇函数f（x），若函数f（x+1）为偶函数，且f（1）＝1，则f（i）＝ 1 ． 解：因为函数f（x+1）为偶函数，所以f（x+1）的对称轴为x＝0， 所以f（x）的对称轴为x＝1，所以f（x+1）＝f（1﹣x）， 又因为f（x）是R上的奇函数，所以f（x+1）＝f（1﹣x）＝﹣f（x﹣1）， 所以f（x+2）＝﹣f（x），f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），所以f（x）的周期为4， 且f（1）＝1，f（2）＝f（﹣2）＝﹣f（2）， 所以f（2）＝0，f（3）＝f（﹣1）＝﹣1，f（4）＝f（0）＝0， f（i）＝504×[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（1）+f（2）＝1， 故答案为：1． 13．设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意的x，都有f（x）＝f（2﹣x），当x∈[0，1]时，f（x）＝x，则 ． （21）＝f 解：∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，故函数的图象关于y轴对称， 又由对任意的x，都有f（x）＝f（2﹣x），故函数的图象关于x＝1对称， 故函数f（x）是以2为周期的周期函数， 故f（21）＝f（1），又∵当x∈[0，1]时，f（x）＝x∴f， 1）（∴（21），f故答，案 为：14．已解知函f（t）＝7，则f（﹣t）＝ ﹣1 ．数：， ； ∴； ∴故答案为：﹣1．．（2018（新课标Ⅲ）． 知函数f（x）＝ln 15•已解：（数x）+1，f（a）＝4，则f（﹣a）＝ ﹣2 ． g（x）＝ln函满足（g（x） x）＝ln﹣x）ln（所以g（x）是奇函数．函数f（x）＝﹣g（x），x）ln ＝（可得（x）+1，f（a）＝4， ）＝4lnfa＝）+1可得ln（a，（则f（﹣a）＝3，）﹣ln （a＝故答案为：﹣2．．函数（（x的图a）+1＝﹣3+1＝﹣2．象与函数gx） 16f）（＝﹣x2）的单调减区间为 （0，1） ．解：由y（）x的图象关于直线y＝x对称，则f（2xg（x）＝ ＝x）∴函x数g，得x）＝，（）x的反函数为（， 该函数为定义域内的减函数，由2x﹣x2＞0，得0＜x＜2， 函数y＝2x﹣x2在（0，1）内为增函数， 由复合函数的单调性可得，f（2x﹣x2）的单调减区间为（0，1）． 故答案为：（0，1）． 1．奇函数f（x）的定义域为R，若f（x+2）为偶函数，且f（1）＝1，则f（8）+f（9）＝（ ） A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1 解：∵f（x+2）为偶函数，f（x）是奇函数，∴设g（x）＝f（x+2），则g（﹣x）＝g（x）， 即f（﹣x+2）＝f（x+2），∵f（x）是奇函数，∴f（﹣x+2）＝f（x+2）＝﹣f（x﹣2）， 即f（x+4）＝﹣f（x），f（x+8）＝f（x+4+4）＝﹣f（x+4）＝f（x）， 则f（8）＝f（0）＝0，f（9）＝f（1）＝1， ∴f（8）+f（9）＝0+1＝1， 故选：D． 2．函数f（x）＝x2﹣2x+1满足f（m+x）＝f（m﹣x），则m＝（ ） A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1 解：函数f（x）＝x2﹣2x+1图象的对称轴为：x＝1， 函数满足f（m+x）＝f（m﹣x），对称轴为x＝m，则m＝1． 故选：D． 3．已知函数f（x）满足f（0）＝2，且对任意x∈R都满足f（x+3）＝﹣f（x），则f（2019）的值为（ ） A．2019 B．2 C．0 D．﹣2 解：∵f（x+3）＝﹣f（x），∴f（x+6）＝﹣f（x+3）＝f（x），∴f（x）的周期为6， ∴f（2019）＝f（3），又f（3）＝﹣f（0）＝﹣2，∴f（2019）＝﹣2． 故选：D． 4．已知定义在R上的奇函数f（x），满足f（x﹣2）＝﹣f（x）且在区间[0，1]上是减函数，则f（x）具有如下性质（ ） A．函数f（x）的图象关于直线x＝2对称 B．f（﹣7）＜f（6）＜f（11） C．函数f（x）的最小正周期是2 D．函数f（x）的单调增区间是[1，2] 解：根据题意，若f（x）满足f（x﹣2）＝﹣f（x），则f（x﹣4）＝﹣f（x﹣2）＝f（x）， 即函数f（x）是周期为4的周期函数， 又由函数f（x）为R上的奇函数，则f（x﹣2）＝f（﹣x）＝f（x+2）， 则函数f（x）的一条对称轴为x＝1，据此分析选项： 对于A，奇函数f（x）在区间[0，1]上是减函数，则其在[﹣1，1]是减函数， 又由函数f（x）的一条对称轴为x＝1， 则f（x）在[1，3]是增函数，则函数f（x）的图象不会关于直线x＝2对称，A错误； 对于B，函数是周期为4的周期函数且是定义在R上的奇函数， 则f（﹣7）＝f（1），f（6）＝f（﹣2）＝f（0）＝0，f（11）＝f（﹣1）， 且函数f（x）在[﹣1，1]上为减函数，则有f（﹣7）＜f（6）＜f（11）；B正确， 对于C，函数是周期为4的周期函数且[﹣1，1]上为减函数，在[1，3]上为增函数， 则函数f（x）的最小正周期为4，C错误； 对于D，f（x）在[﹣1，1]上为减函数，在[1，3]上为增函数，则D错误； 故选：B． 5．已知函数f（x）（x∈R）满足f（2﹣x）＝﹣f（x），若函数y与f（x）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），…，（xm，ym）（m∈N*），则x1+x2+x3+…+xm的值为（ ） A．4m B．2m C．m D．0 解：函数f（x）（x∈R）满足f（2﹣x）＝﹣f（x），即为f（x）+f（2﹣x）＝0， 可得f（x）关于点（1，0）对称， 函y的图象关于点（1，0）对称， 即有（x1，y1）为交点，即有（2﹣x1，﹣y1）也为交点， （x2，y2）为交点，即有（2﹣x2，﹣y2）也为交点， … 则有x1+x2+x3+数…+xm[x1+（2﹣x1）+x2++（2﹣x2）+…+xm+（2﹣xm）]＝m． 故选：C． 6．已知定义在R内的奇函数f（x）满足：对任意x∈R郡有f（x+1）＝f（3﹣x），若f（1）＝﹣2，则2016f（2016）﹣2015f（2015）＝（ ） A．﹣2015 B．2015 C．﹣4030 D．4030 解：定义在R内的奇函数f（x）满足：对任意x∈R郡有f（x+1）＝f（3﹣x）， 则f（x+1）＝f（3﹣x）＝﹣f（x﹣3），则f（x+4）＝﹣f（x），即f（x+8）＝﹣f（x+4）＝f（x）， 即函数f（x）是周期为8的周期函数，则f（2016）＝f（252×8）＝f（0）＝0， f（2015）＝f（252×8﹣1）＝f（﹣1）＝﹣f（1）＝2， 故2016f（2016）﹣2015f（2015）＝0﹣2015×2＝﹣4030， 故选：C． 7．设函数f（x）是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f（x）＝log2x，则 2 ． 解：根据题意，函数f（x）是定义在R上的周期为2的奇函数，则有f（x+2）＝f（x），f（﹣x）＝f（x）则 ﹣，， 同时函数f（x）是定义在R上的奇函数，则f（﹣1）＝﹣f（1）， 又有函数为周期为2的周期函数，则f（1）＝f（﹣1），则有f（1）＝f（﹣1）＝0，故2； 故答案为：2． 8．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x+4）＝f（x﹣2）．若当x∈[﹣3，0]时，f（x）＝6﹣x，则f（919）＝ 6 ． 解：由f（x+4）＝f（x﹣2）．则f（x+6）＝f（x）， ∴f（x）为周期为6的周期函数，f（919）＝f（153×6+1）＝f（1）， 由f（x）是定义在R上的偶函数，则f（1）＝f（﹣1）， 当x∈[﹣3，0]时，f（x）＝6﹣x， f（﹣1）＝6﹣（﹣1）＝6， ∴f（919）＝6， 本文来源：https://www.dywdw.cn/26684f587cd5360cba1aa8114431b90d6c8589a2.html
下载此文档
搜索文档
阅读：
文档下载
2022-07-10
