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高中知识点之集合 一、集合的有关概念 ⒈定义：一般地，我们把研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合，也简称集。 2.表示方法：集合通常用大括号{ }或大写的拉丁字母A,B,C…表示， 而元素用小写的拉丁字母a,b,c…表示。 3.集合相等：构成两个集合的元素完全一样。 4.元素与集合的关系：(元素与集合的关系有“属于”及“不属于两种) ⑴若a是集合A中的元素，则称a属于集合A，记作aA； ⑵若a不是集合A的元素，则称a不属于集合A，记作aA。 5.常用的数集及记法： 非负整数集（或自然数集），记作N； 正整数集，记作N*或N+；N内排除0的集. 整数集，记作Z； 有理数集，记作Q； 实数集，记作R； 6.关于集合的元素的特征 ⑴确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了。 如：“地球上的四大洋”（太平洋,大西洋，印度洋，北冰洋）。“中国古代四大发明” （造纸，印刷，火药，指南针）可以构成集合，其元素具有确定性；而“比较大 的数”，“平面点P周围的点”一般不构成集合，因为组成它的元素是不确定的. ⑵互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的。. 如:方程(x-2)(x-1)2=0的解集表示为1,-2,而不是1,1,-2 ⑶无序性：即集合中的元素无顺序,可以任意排列、调换。 7.元素与集合的关系：(元素与集合的关系有“属于”及“不属于”两种) ⑴若a是集合A中的元素，则称a属于集合A，记作aA； ⑵若a不是集合A的元素，则称a不属于集合A，记作aA。 二、集合的表示方法 ⒈列举法：把集合中的元素一一列举出来, 并用花括号“”括起来表示集合的方法叫列举法。如：{1，2，3，4，5}，{x2，3x+2，5y3-x，x2+y2}，…； 说明：⑴书写时，元素与元素之间用逗号分开； ⑵一般不必考虑元素之间的顺序； ⑶在表示数列之类的特殊集合时,通常仍按惯用的次序； ⑷集合中的元素可以为数，点，代数式等； 第1页 ⑸列举法可表示有限集，也可以表示无限集。当元素个数比较少时用列举法比较简单；若集合中的元素较多或无限，但出现一定的规律性，在不发生误解的情况下，也可以用列举法表示。 ⑹对于含有较多元素的集合，用列举法表示时，必须把元素间的规律显示清楚后方能用省略号，象自然数集Ｎ用列举法表示为1,2,3,4,5,...... ⒉描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，称为描述法。。 方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。 一般格式：xAp(x) 如：{x|x-3>2}，{(x,y)|y=x2+1}，{x|直角三角形}，…； 用符号描述法表示集合时应注意： １、弄清元素所具有的形式（即代表元素是什么）是数还是点、还是集合、还是其他形式？ ２、元素具有怎么的属性？当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑。 三、集合的分类 有限集:含有有限个元素的集合集合的分类无限集:含有无限个元素的集合空集:不含有任何元素的集合(emptyset) 四、集合的基本关系 ⒈子集：对于两个集合A，B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这 两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集（subset）。 记作：AB(或BA) 读作：A包含于B，或B包含A 表示：AB ⒉集合相等定义：如果A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，则集合A与集合B 中的元素是一样的，因此集合A与集合B相等，即若AB且BA，则AB。 如：A={x|x=2m+1，mZ}，B={x|x=2n-1，nZ}，此时有A=B。 ⒊真子集定义：若集合AB，但存在元素xB,且xA，则称集合A是集合B的真子集。 记作：A B（或B A） 读作：A真包含于B（或B真包含A） 4.空集定义：不含有任何元素的集合称为空集。记作： 5.几个重要的结论： ⑴空集是任何集合的子集；对于任意一个集合A都有A。 ⑵空集是任何非空集合的真子集； ⑶任何一个集合是它本身的子集； ⑷对于集合A，B，C，如果AB，且BC，那么AC。 当集合A不包含于集合B时，记作A⊈B(或B⊉A) 用Venn图表示两个集合间的“包含”关系： B A 五、集合间的基本运算； 第2页 1.并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与集合B 的并集，即A与B的所有部分， 记作A∪B， 读作：A并B 即A∪B={x|x∈A或x∈B}。 Venn图表示： 2. 3.交集定义：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，叫作集合A、B的交集（intersection set）， 记作：A∩B 读作：A交B 即：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B} Venn图表示： （阴影部分即为A与B的交集） 常见的五种交集的情况： B B A B A B A A A(B) 4.全集的定义：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么 就称这个集合为全集,记作U，是相对于所研究问题而言的一个相对概念。 5.补集的定义：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合，叫作集 合A相对于全集U的补集, 记作：CUA，读作：A在U中的补集，即CUAxxU,且xA Venn图表示：（阴影部分即为A在全集U中的补集） UA CUA 补充：集合中元素的个数 在研究集合时，经常遇到有关集合中元素的个数问题。我们把含有有限个元素的集合A叫做有限集，用card(A)表示集合A中元素的个数。例如：集合A={a,b,c}中有三个元素，我们记作card(A)=3. 结论:已知两个有限集合A，B，有：card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B). 一个集合当中有N个元素，那么该集合的子集有2N个 真子集有2N-1个 非空真子集有2N-2个 第3页 本文来源：https://www.dywdw.cn/29572a8b9cc3d5bbfd0a79563c1ec5da50e2d6f1.html
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2022-06-26
