苏教版高中数学选修2-2易错点题析：数学归纳法

2022-05-16 22:12:24 第一文档网 [ 字体：小中大 ] [

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数学归纳法易错题析

 数学归纳法是证明于正整数有关的问题，用数学归纳法证明时要分两个步骤，且缺一不可。初学数学归纳法常出现下面的错误，剖析三种典型错误。

一、对假设设而不用

例1：用数学归纳法证明 122232错证：①当n1时，左边＝1

n2

1

n(n1).(2n1) 6

1

右边＝1(11)(211)

6

＝1 所以等式成立。

②假设当n=k时等式成立。即1`22232k2那么当n=k+1时为

1

k(k1)(2k1) 6

122232k2(k1)2

1

(k1)[(k+1)+1][2(k+1)+1] 61＝(k1)(k2)(2k3)

6

也就是说当nk1时，等式成立。由⑴⑵知对任何nN*等式成立，剖析：用数学归纳法证明第⑵步骤时，在从“k”到“k1"的过程中，必须把n=k的命题作为已给定的条件，要在这个条件基础上去导出nk1时的命题所以在推导过程中，故必须把n=k时的命题用上，本解法错因是对假设设而不用。

正解：⑵ 122232k2(k1)2

1

＝k(k1)(2k1)(k1)2

6

1

＝(k1)[k(2k1)(k!)]

6

11

＝(k1)(2k27k6)(k1)(k2)(2k3)

661

＝(k1)[(k1)1][2(k1)1]

6 即当nk1时，等式成立。

由⑴⑵知对任何nN*等式成立

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二、机械套用数学归纳法中的两个步骤致误

例2：当n 为正奇数时，7n1能否被8整除？若能用数学归纳法证明。若不能请举出反例。

证明：⑴当n=1时，7＋1＝8能被8整除。命题成立。 ⑵假设当n=k时命题成立。即7k1能被8整除。则当n=k+1时，7k117(7k1)6不能8整除.

由（1）（2）知n为正奇数。7n1不能被8整除

分析：错因;机械套用数学归纳法中的两个步骤，而忽略了n是整奇数的条件。

证明前要看准已知条件。

正解（2）n=k时命题成立，即7k1能被8整除。当n=k+2时，7k2172(7k1)172

＝49（7k1)48

因7k1能被8整除。且48能被8整除。所以7k21能被8整除。所以当 n=k+2时命题成立。由⑴⑵知当n 为正奇数时，7k1能被8整除。三、没有搞清从k 到k+1的跨度例3：求证：

111

1 n1n23n1

111

1 k1k23k1

错证：（1）当n ＝1时，不等式成立。

（2）假设n=k时命题成立，即则当n=k+1时，

11111

11 k2k33k13(k1)13(k1)

就是说当n=k+1时不等式成立。由⑴⑵知原不等式成立。

点评：上述证明中，从k 到k+1的跨度，只加了一项是错误的，分母是相临的自然数，故应是

111，跨度是三项。 3k23(k1)3(k1)1

2 / 3

111643131，不等1112131212

111

式成立。（2）假设n=k时命题成立，即1，

k1k23k1正确证法：（1）当n＝1时，左边＝

则当n=k+1时，＝（

11

k2k3



1111



3k13k23(k1)3(k1)1

1111111

）＋＋ 

3(k1)1k13k23(k1)k1k23k1

1126k66(k1) ]122

3k23k43(k1)9k18k83(k1)2

>1＋[

=1＋

6(k1)6(k1)

1。 22

9k18k89k18k9

这就是说，当nk1时，不等式成立。由⑴⑵知原不等式成立。

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