【#第一文档网# 导语】以下是®第一文档网的小编为您整理的《例谈绝对值与最值》，欢迎阅读！
例谈绝对值与最值 山西 耿京娟 对绝对值概念有几何、代数两种描述方法.其中几何方法的描述是:|x|是在数轴上表示数x的点与原点的距离.据此,我们可以略加推广:|x-a|指在数轴上表示数x的点与表示数a的点的距离.下面举例说明其应用. 一．利用几何方法求最值 例1 已知y=|x-2|-|x-5|,求y的最大值与最小值. 分析 此题常见的方法是根据x的取值范围,去绝对值,然后分别讨论求出最大值、最小值.但根据绝对值几何意义解,那就容易多了. 解 设数轴上表示数2、5、x的点分别为A、B、C.C可在数轴上移动,那么y=|x-2|-|x-5|=AC-BC,如图1,当C点在B点右边时,AC-BC=AB=5-2=3； 图1 当C点在A点左边时（如C1处）， AC-BC=-AB=-3； 当C点在线段AB上（包括A、B点）（如在C2处）时，-3≤AC-BC≤3. 综上所述,y的最大值为3,最小值为-3. 例2 已知y=|x-2|+|x-1|,求y的最小值. 图2 解 设数轴上表示数2、1和的点分别为A、B、C，则y=|x-2|+|x-1|=AC+BC(如图2），当C点在A点右边时，AC+BC＞AB，即y＞1.当C点在B点左边时（如在C1处），AC+BC＞AB，即y＞1.当C点在线段AB上（包括A、B点）（如在C2处）时， y=AC+BC=AB=1, 综上所述y≥1,y的最小值为1. 通过上述两题,我们知道,利用绝对值几何意义解决此类问题,显得直观又简单,同时我们还能得出一些有用的结论: 如果y=|x-a|-|x-b|,那么y有最大值|a-b|,最小值-|a-b|. 如果y=|x-a|+|x-b|,那么y有最小值|a-b|,无最大值. 并且还求出最大值,最小值时对应的x值的范围. 二．利用界点分段法求最值 例3.求代数式∣x-1│+∣x-2│+∣x-3│的最小值 分析：根据上题很容易找到三个分界点是x=1、2、3，这样将数轴分成四部分，x1，1x2，2x3，x3，然后分段讨论。∣ 解：这里有三个分界点：1、2、3 当ｘ≦１时，原式＝－（x－１）－（ｘ－２）－（ｘ－３）＝６－３ｘ这时ｘ＝１时有最小值３ 当１＜ｘ≦２时，原式＝x－１－（ｘ－２）－（ｘ－３）＝４－ｘ这时ｘ＝２时有最小值２ 当２＜ｘ≦３时，原式＝x－１＋（ｘ－２）－（ｘ－３）＝ｘ 这时ｘ没有最小值 当ｘ＞３时，原式＝x－１＋ｘ－２＋ｘ－３＝ｘ 这时ｘ没有最小值 综合以上几种情况，原式的最小值是2。 说明：形如|x-a1|+|x-a2|+……+|x-an|n个绝对值的代数和其最小值的一般规律是：当n为奇数时取中间分界点x取值能取得最小值，当n为偶数时取中间两个分界点x的取值或中间两个分界点之间的任意实数，如求|x+1|+|x+2|+|x+3|+|x+4|+|x+5|的最小值。因为有奇数个分界点，所以当x取中间界点-3时有最小值6，如求|x+1|+|x+2|+|x+3|+|x+4|的最小值，因为有偶数个分界点，所以3x2时有最小值4。 例4 已知y=|2x+6|-4|x+1|+|x-1|，求y的最大值。 分析：首先，对式子|2x+6|－4|x+1|＋|x-1|分段讨论后化简，然后分别求出各段中y的最大值，再加以比较可得。 解：找分界点，得x=－3，－1，1 当x3时，y(2x6)4(x1)(1x)x1 ∵x≦－3 ∴ｘ－１≦－４ ∴ｘ≦－３时，ｙ的最小值为－４ 当3x1时，y(2x6)4(x1)(1x)5x11 3x145x116 ∴ｙ的最大值为６ 当1x1时，y(2x6)4(x1)(1x)33x ∵－１＜ｘ≦１ ∴－１≦－ｘ＜１ ∴０≦３－３ｘ＜６这时没有最大值 当ｘ>1时,y=(２ｘ＋６)－４（ｘ＋１）＋（ｘ－１）＝１－ｘ ∵ｘ>1 ∴1－ｘ＜０ ∴当ｘ>1时，ｙ没有最大值 综上所述：y的最大值是6 课堂练习 1.已知y=|x+5|-|x-1|,求y的最大值,最小值.(答:最大值6,最小值-6) 2.已知y=|x-2|+|x-6|,求y的最小值.(答:8) 本文来源：https://www.dywdw.cn/34856eb00f22590102020740be1e650e52eacfa8.html
下载此文档
搜索文档
阅读：
文档下载
2023-12-22
