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高一数学公式知识点：积化和差公式 2021年高三生物一模试题练习及答案公式 sinαsinβ=-[1][cos(α+β)-cos(α-β)]/2【注意等式右边前端的负号】 cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]/2 sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2 cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]/2 这里用到了sin(-α)=-sinα 即sin(α-β)= - sin(β-α) 证明 法1 积化和差恒等式能够通过展开角的和差恒等式的右手端来证明。 即只需要把等式右边用两角和差公式拆开就能证明： sinαsinβ=-1/2[-2sinαsinβ] =-1/2[(cosαcosβ-sinαsinβ)-(cosαcosβ+sinαsinβ)] =-1/2[cos(α+β)-cos(α-β)] 其他的3个式子也是相同的证明方法。 (该证明法逆向推导可用于和差化积的计算，参见和差化积) 法2根据欧拉公式，e^ix=cosx+isinx 令x=a+b 得e ^I(a+b)=e^ia*e^ib=(cosa+isina)(cosb+isinb)=cosacosb-sinasinb+i(sinacosb+sinbcosa)=cos(a+b)+isin(a+b) 所以cos(a+b)=cosacosb-sinasinb sin(a+b)=sinacosb+sinbcosa 编辑本段 记忆方法 积化和差公式的形式比较复杂，记忆中以下几个方面是难点，下面指出了特点各自的简单记忆方法。 这个点最简单的记忆方法是通过三角函数的值域判断。sin和cos的值域都是[-1,1]，其和差的值域应该 是 [-2,2]，而积的值域却是[-1,1]，所以除以2是必须的。 也能够通过其证明来记忆，因为展开两角和差公式后，未抵消的两项相同而造成有系数2，如： cos(α-β)-cos(α+β) =(cosαcosβ+sinαsinβ)-(cosαcosβ-sinαsinβ) =2sinαsinβ 故最后需要除以2。 本文来源：https://www.dywdw.cn/43f8607dbbd528ea81c758f5f61fb7360a4c2bfc.html
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2022-03-23
