2015年全国高中数学联赛试题

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2015年全国高中数学联合竞赛一试试题（A卷）

一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分

1.设a,b为不相等的实数，若二次函数f(x)x2axb满足f(a)f(b)，则f(2)的值为 2.若实数满足costan，则

1

cos4的值为 sin

3.已知复数数列{zn}满足z11,zn1zn1ni(n1,2,3,)，其中i为虚数单位，zn表示zn的共轭复数，则z2015的值为

4.在矩形ABCD中，AB2,AD1,边DC（包含点D,C）上的动点P与CB延长线上（包含



点B）的动点Q满足DPBQ,则向量PA与向量PQ的数量积PAPQ的最小值为

5.在正方体中随机取3条棱，它们两两异面的概率为

6.在平面直角坐标系xOy中，点集K(x,y)(x3y6)(3xy6)0所对应的平面区域的面积为

7.设为正实数，若存在a,b(ab2)，使得sinasinb2，则的取值范围是 8.对四位数abcd(1a9,0b,c,d9)，若ab,bc,cd，则称abcd为P类数，若

ab,bc,cd，则称abcd为Q类数，用N(P),N(Q)分别表示P类数与Q类数的个数，则 N(P)N(Q)的值为



二、解答题：本大题共3小题，满分56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 9.（本题满分16分）若实数a,b,c满足2a4b2c,4a2b4c，求c的最小值. 10.（本题满分20分）设a1,a2,a3,a4是4个有理数，使得

aa

i

j

31

1ij424,2,,,1,3，求a1a2a3a4的值.

28

x2

11.（本题满分20分）在平面直角坐标系xOy中，F1,F2分别是椭圆y21的左、右焦点，

2

设不经过焦点F1的直线l与椭圆交于两个不同的点A,B，焦点F2到直线l的距离为d，如果直线AF1,l,BF1的斜率依次成等差数列，求d的取值范围.

一、（本题满分40分）设a1,a2,,an(n2)是实数，证明：可以选取1,2,,n1,1，使

nnn2得aiiai(n1)ai. i1i1i1

二、（本题满分40分）设SA1,A2,,An，其中A1,A2,,An是n个互不相同的有限集合（n2），满足对任意的Ai,AjS，均有AiAjS，若kminAi2.证明：存在xAi，

1in

i1n

22

使得x属于A1,A2,,An中的至少

n

个集合（这里X表示有限集合X的元素个数）. k

上一点，点K在线段AP上，使得三、（本题满分50分）如图，ABC内接于圆O，P为BC

BK平分ABC，过K,P,C三点的圆与边AC交于D，连接BD交圆于点E，连接PE并

延长与边AB交于点F.证明：ABC2FCB.（解题时请将图画在答卷纸上）

A

F O

K E

B

P



四、（本题满分50分）求具有下述性质的所有正整数k：

(kn)!

对任意正整数n，2(k1)n1不整除.

n!

DC

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