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幂函数知识点总结 幂函数是数学中常见的一类函数，它的形式可以表示为f(x) = x^a，其中a为常数。幂函数的特点是变量x的指数是常数，因此它的图像通常呈现出一种非常特殊的形状。 1. 幂函数的定义域和值域： 幂函数的定义域为实数集R，即它对于任意实数x都有定义。而值域则取决于幂函数的指数a的取值范围。 当a为正数时，幂函数的值域为正实数集(0, +∞)，即函数的值始终大于0；当a为负数时，幂函数的值域为负实数集(-∞, 0)，即函数的值始终小于0；当a为0时，幂函数的值域只包含一个点1，即函数的值始终等于1。 2. 幂函数的图像： 幂函数的图像形状取决于指数a的正负和大小。当a为正数时，幂函数的图像呈现出从左下方无限趋近于x轴的曲线，且经过点(0,0)。随着a的增大，曲线的增长速度越来越快。 当a为负数时，幂函数的图像呈现出从右上方无限趋近于x轴的曲线，且经过点(0,0)。随着a的减小，曲线的增长速度越来越慢。 当a为0时，幂函数的图像为一条水平直线，过点(0,1)。 3. 幂函数的性质： • 幂函数是奇函数还是偶函数取决于指数a的奇偶性。当a为奇数时，幂函数是奇函数；当a为偶数时，幂函数是偶函数。 • 当指数a为正整数时，幂函数的增长速度越来越快，当a为负整数时，幂函数的增长速度越来越慢。 • 当指数a大于1时，幂函数的增长速度超过线性函数；当指数a介于0和1之间时，幂函数的增长速度介于线性函数和指数函数之间。 • 幂函数的导数为f’(x) = a * x^(a-1)，其中a为指数。当指数a为正数时，导数始终大于0，说明幂函数在整个定义域上是递增的；当指数a为负数时，导数始终小于0，说明幂函数在整个定义域上是递减的。 综上所述，幂函数是一种常见的函数形式，它的图像和性质都受到指数a的影响。通过对幂函数的研究，我们可以更好地理解函数的变化规律和特点。 本文来源：https://www.dywdw.cn/535cdd0df76527d3240c844769eae009591ba278.html
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2023-11-19
