旋转体体积公式绕x轴和绕y轴的公式推导

2023-05-01 21:06:18 第一文档网 [ 字体：小中大 ] [

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旋转体体积公式绕x轴和绕y轴的公式推

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旋转体体积公式是计算旋转体体积的公式，旋转体是指由一个平面图形绕某一条轴线旋转而成的立体图形。在计算旋转体体积时，需要根据旋转轴的不同，使用不同的公式进行计算。本文将分别介绍绕x轴和绕y轴的旋转体体积公式的推导过程。

一、绕x轴的旋转体体积公式

假设有一个平面图形，其方程为y=f(x)，将其绕x轴旋转一周，得到的旋转体体积为V。为了计算V，我们可以将旋转体分成无数个薄片，每个薄片的厚度为dx，宽度为f(x)，高度为2πx（即旋转一周的周长）。

因此，每个薄片的体积为dV=π[f(x)]^2dx。将所有薄片的体积相加，即可得到旋转体的体积公式：

V=∫[a,b]π[f(x)]^2dx

其中，[a,b]为平面图形的定义域。

二、绕y轴的旋转体体积公式

假设有一个平面图形，其方程为x=f(y)，将其绕y轴旋转一周，得到的旋转体体积为V。为了计算V，我们可以将旋转体分成无数个薄片，每个薄片的厚度为dy，宽度为2πy（即旋转一周的周长），

高度为f(y)。

因此，每个薄片的体积为dV=π[f(y)]^2dy。将所有薄片的体积相加，即可得到旋转体的体积公式：

V=∫[c,d]π[f(y)]^2dy

其中，[c,d]为平面图形的定义域。

绕x轴和绕y轴的旋转体体积公式的推导过程都是将旋转体分成无数个薄片，计算每个薄片的体积，然后将所有薄片的体积相加。在实际应用中，我们可以根据具体问题选择使用哪种公式进行计算。

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